[交流] 【求助】狄拉克右矢与线性算符求指引

Originally posted by mozhui at 2009-8-30 00:06:
最后，量子力学中的“完备性”，关系到能否用本征函数展开逼近任意波函数的问题。说说自己对一个小问题的认识和理解，通常我们认为所研究的态函数属于L2（勒贝格平方可积）空间，并且乐于将态函数（当粒子仅出现于有界区域时，无界时通常用厄米多项式代替三角函数系）进行傅立叶展开，可以证明傅立叶级数能够在平均收敛的意义下逼近任何L2中的函数（即三角函数系构成L2空间的完备基），然而这一逼近并不能保证是“处处”的，即不能保证在空间的每一点傅立叶级数都收敛于态函数，这样，在没有更进一步的证明时，用傅立叶级数代替态函数计算粒子在空间某点或某部分出现的概率是比较危险的，尽管一般都这么做。当然，或许对于所有物理上“真实”的态函数都满足足够的条件以使其可以被对应的本征函数展开级数处处甚至一致地逼近，这个“真实”应对应于什么样的限制，当本征函数为三角函数系和某些特殊函数系时已经有了一些很好的结果，但是在一般情况下如何？或许是个有趣的问题（不过个人认为从物理的角度来讲意义不大…）