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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 理论物理&天文 » 【求助】狄拉克右矢与线性算符求指引
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ltxvici

银虫 (著名写手)

[交流] 【求助】狄拉克右矢与线性算符求指引

化学出身。。考量子
有几个问题求达人指引。
问题一：狄拉克定义的右矢为Hibert空间中的矢量，目前我只能这么理解，其方向我们用来表达力学系统的态，Hibert空间的知识我很无知，确实没接触过，一同学让我不要深究，单纯的理解成一线性空间，那么求达人指点，这个线性空间怎么理解？
问题二：矢量的运算法则
狄拉克自己的书中说右矢与左矢是两个空间，是性质不同的两个量，不考虑物理意义，如两共轭虚量，也就是一右矢量与相应共轭的左矢量，因为性质不同，所以不能相加，所以不能想常规的可区分实虚部的复量那样相加而得到实部，也就是左右矢都是无法却分实虚部的复量，那么既然性质不同不能相加的法则，那么怎么又能相乘得到一标量积？还有两无法区分实虚部的复量相乘怎么就得到一数？
还有这个标量积是一数，该怎么理解，单纯理解成数还是带方向的意义。。。
问题三：线性算符的运算法则
线性算符为可区分实虚部的复量，乘以不可区分实虚部的矢量怎么会得到还是不可区分实虚部的复量？
以上运算法则怎么算的，是狄拉克自己定义的数学逻辑还是确实有一套数学运算？
大家见谅，我学化学的，对量子实在是有太多疑问，希望能得到大家的解答，我很无知，大家见谅。
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8月，真的要近了···什么都要换了，连名字都要换了。。
1楼 2009-08-11 22:01:14
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mozhui

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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GrasaVampiro(金币+30,VIP+0):3x 8-29 19:00
lxd_bruce同学讲得不错，现在看来量子力学的数学基础是泛函分析，如lxd同学所述，狄拉克在《原理》中所引入的几乎所有符号和运算形式在泛函分析中都可以找到数学上对应的严格定义，比如：标量积（即左矢与右矢的“内积”）。对于量子力学中的ket与bra(这个容易让人产生不好的联想…)，在数学上分别对应于希尔伯特空间（完备的内积空间）中的元素和其上的连续线性泛函（即希尔伯特空间的共轭空间中的元素），所以左矢与右矢实际上是不同类型的，在这个意义下，《原理》中左矢与右矢间的“内积”应理解为连续线性泛函（相应于bra）在某一元素（相应于ket）上的函数值（一般值域是复数集的子集），而由于希尔伯特空间的特性（具有内积），其上任一连续线性泛函作用到某一元素上得到的值可以通过将该元素与此希尔伯特空间中一特定的元素（取决于该泛函）作内积而得到。因此，尽管左矢与右矢的“内积”（实际上是泛函值在某点的函数值）并不是希尔伯特空间中真实的内积（两元素必须属于同一空间），“内积”的结果却可以用希尔伯特空间中定义的内积来获得。
而对于量子力学中线性算符，数学上则是指希尔伯特空间到其自身（更一般的情况下则为任意两个线性拓扑空间间的映射）的一种映射操作，即其作用到一个态矢上可得到另一个态矢，并且这个映射是线性的。运算法则取决于算符的具体形式，比如是对态矢的旋转操作还是平移操作等等。另外，量子力学中重要的力学量的本征值问题在泛函分析中就是寻找相应线性算符的所谓“点谱”的问题，由此可见谱分析技术的发展对量子力学的重要性。
最后，量子力学中的“完备性”，关系到能否用本征函数展开逼近任意波函数的问题。说说自己对一个小问题的认识和理解，通常我们认为所研究的态函数属于L2（勒贝格平方可积）空间，并且乐于将态函数（当粒子仅出现于有界区域时，无界时通常用厄米多项式代替三角函数系）进行傅立叶展开，可以证明傅立叶级数能够在平均收敛的意义下逼近任何L2中的函数（即三角函数系构成L2空间的完备基），然而这一逼近并不能保证是“处处”的，即不能保证在空间的每一点傅立叶级数都收敛于态函数，这样，在没有更进一步的证明时，用傅立叶级数代替态函数计算粒子在空间某点或某部分出现的概率是比较危险的，尽管一般都这么做。当然，或许对于所有物理上“真实”的态函数都满足足够的条件以使其可以被对应的本征函数展开级数处处甚至一致地逼近，这个“真实”应对应于什么样的限制，当本征函数为三角函数系和某些特殊函数系时已经有了一些很好的结果，但是在一般情况下如何？或许是个有趣的问题（不过个人认为从物理的角度来讲意义不大…）
最后，泛函分析和测度论的入门教材推荐 a.h.柯尔莫戈洛夫的《函数论和泛函分析初步》，讲得很好，对于每个稍微陌生的概念都给出定义，仅需要很少的预备知识，比如高数或数分就可以通读～
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18楼2009-08-30 00:06:56
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msphy

木虫 (小有名气)
★ ★ ★ ★
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musi429(金币+3,VIP+0):多谢你的答复~ 8-12 01:03
个人愚见：
问题1：
Hilber Space 是一个可以同时定义范数（通俗理解为广义距离），内积，和伴随空间的特殊代数空间。所以数学上明确的说应该叫“线性赋范内积空间”。并不是所有的线性空间都可以同时定义范数，内积，伴随空间的。所以这个空间是如此的特殊。所以他也展现出了很多独特的性质。

问题2：
内积空间与伴随空间是不同的。但同时定义了内积和伴随空间的Hilber Space确实可以在一定程度上将内积等同与伴随空间中的两个基矢量的乘积。

具体的一些问题，我也不是十分明白，需要请教数学老师。
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Cogito, ergosum
2楼2009-08-11 23:25:35
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田山东

捐助贵宾 (著名写手)
建议看下喀兴林高等量子，第一章看完了就知道的差不多了，不会要你太久时间
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everythinghasitsseason.enjoyyourlife.
3楼2009-08-12 07:52:31
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
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GrasaVampiro(金币+20,VIP+0):3x 8-12 17:48
GrasaVampiro(金币+0,VIP+0):"复共轭保范同构"我明白，但我想楼主肯定更不明白了，简要的解释一下吧 8-12 17:50
以上运算法则怎么算的，是狄拉克自己定义的数学逻辑还是确实有一套数学运算？

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量子力学发展之初，它的数学理论内核（主要是线性泛函分析）还刚刚开始萌芽，也就是说，当时没有严格的、容易理解的数学结构可以让人理解量子力学，说白了，你当时学量子力学的话，不可能像学过微积分之后再学牛顿力学有种融会贯通的感觉。很多牛人都用哲学来解释量子力学，如海森堡。
在这种情况下，还是有少数物理很牛、数学也很牛的大师用些相对容易让人理解的形式逻辑来解释量子力学的，比如狄拉克的《量子力学原理》（这套形式逻辑是他自创的。其实也不是非常易懂，毕竟线性泛函分析刚开始发展，狄拉克即使再牛，也不是专门搞数学的，虽说他是数学硕士，但也不可能一个人就把泛函分析发展起来，只能用他理解的、甚至猜测的那部分不严格的形式逻辑来解释）。
其实狄拉克的这套形式逻辑就是后来的线性泛函分析的理论的部分原型。
现在线性泛函分析已经发展完备，足以解释量子力学的数学内核。
所以你只要找本线性泛函分析的教材，把 Hibert 空间的那部分理论搞明白基本就可以了。

不过，狄拉克的那套术语是自创的，和线性泛函分析的标准术语是不同的。

某些对应如下：
右矢——Hibert空间中的矢量（按集合论的讲法，就是Hilbert空间中的“元素”）
左矢——Hibert空间上的共轭空间（其实也是Hilbert 空间，是前者的所有连续线性泛函构成的线性空间，和前者是复共轭保范同构的）中的矢量

[ Last edited by lxd_bruce on 2009-8-12 at 10:53 ]
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4楼2009-08-12 10:35:56
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