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为何不明白

铜虫 (小有名气)

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[交流] 数学分析这个门课程要怎么才能学好已有3人参与

我的专业是数学分析，谈谈我的看法。

一谈到数学分析的学习，很多人想到的就是要多做习题。但是，我认为最重要的还是要先仔细研读教科书，搞清楚每个定义和定理。在这个基础上适当做些习题才会事半功倍。没有弄清基本的概念，对学过的定理也没有吃透，就急急忙忙去做习题，必然会碰到很多困难，甚至会丧失自信心。这是一种不可取的学习方法。

首先，要彻底弄清楚接触到的每个定义。数学专业上的定义，都是从许多具体的事例中抽象出来的。这些定义虽然是具体事例的抽象，但却又是很自然的。我们在学习中要多思考，并且通过具体的例子来掌握各个定义的内涵。数学的定义中往往有各种各样的条件。对这些条件要仔细揣摩，体会它们的作用。有时还需要通过正反两方面的例子来辨析不同的概念。只有这样才能真正掌握，并能在推理中做到灵活运用。

其次，每学习一个定理时，就要从内涵上弄清这个定理的含义，即它到底说了什么事情。这往往可以结合几何直观来把握。然后就是研究定理中要求的条件。这可以通过研究定理的证明了解这些条件的作用，还可以通过反例来弄清当某个条件不成立时，结论为何不对。通过这样正反面的思考，就会对这个定理有比较好的理解。我见到很多数学系的学生，在解题时说“因为 f 是闭集 F 上的连续函数，所以 f 有界”。之所以犯这样的错误，就是因为没有很好地掌握“有界闭集上的连续函数必有界”这个定理。

再者，定理的证明也值得我们好好研究。通过研读定理的证明，可以加深我们对这个定理的理解。而且，在定理的证明过程中我们还可以学习到本学科的各种基本的论证方法。熟悉这些方法之后，我们就自然能够把它们应用到我们面临的问题中去。有些定理的证明是很漂亮的，充分展现了数学的美。我们在学习过程中还要好好体会这种美，这对提高我们的数学素养不无益处。当然，有些定理的证明比较繁难，为了不打击自信心，我们可以先跳过它，等过后有机会再回来研究它。事实上，有些定理本身很重要，但它的证明却未必非常重要。

我们还可以从全局的角度来看我们学过的定理，看它和数学分析中的其它定理有什么联系。比方说为什么需要这个定理? 想象一下，如果没有闭区间上连续函数的性质的各个定理，整个数学分析的理论会是什么样子。把各个定义、定理联系起来，在我们的头脑中形成一个有机的网络，我们在解决问题时才能更灵活地运用所掌握的知识。

在牢固地掌握了各个定义和定理后，一定要做一些习题，以加深理解。好的教科书每节后面的习题都是对本节所学大学专业知识的运用。做这些习题有助于更好地掌握该节的内容。做习题的过程也是对自己的一种训练，这是做习题的另一个目的。正如长期的体育锻炼会使身体逐渐强壮一样，坚持做习题，分析问题和解决问题的能力就会逐渐提高。数学分析的习题，灵活性比较强。我们常常有面对一个问题却束手无策的经历。这是很正常的现象，千万不要失去信心。这是由于我们的阅历比较少的原因。现在出版了不少解题指南之类的参考书。这些书上有很多很典型的例题，有些是很有启发性的。大家可以根据自身情况选读一些。不过，每道好的习题都是非常珍贵的。如果遇到题目，没有经过深入的思考就急于去看答案，那么你虽然也知道这道题乃至这类题的解法，但却失去了一次独立思考的机会。这道题就被你浪费掉了。所以，对于习题大家一定要独立思考(也可以几个同学一起讨论)，实在做不出来再去看答案，并认真总结自己失败的原因。对于参考书中的例题，如果时间允许，也应先自己试做一下。如果没有试做参考书中的例题，就一定要选做它里面的一些习题。

最后，数学分析的内容非常丰富，它跟后续的许多课程有着密切的联系。我们在后续课程的学习中，有时还应该回来看看数学分析中的有关内容，厘清它们之间的联系。这对更好地掌握数学分析，以及后续课程的学习，都有好处。

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hylpy

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1楼 2018-03-06 12:01:31

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hylpy

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好贴。写得非常实在。但要做到确实要下很大的功夫才行。

比如说定义，要“底弄清楚接触到的每个定义”也不容易的。因为我们现在所学的知识过程是与历史上产生过程，是相逆的。教材上看起来系统的知识，是经过无数人的梳理后成的样子，所以反倒让人不容易弄清之所以这样的原因。

定理也是一样。有时候一个证明过程读几遍也不一定就能明白了。数学分析是知识和技巧的高度体现，要学好真的不容易。