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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 在定义域内单调的函数，为什么无法得到其反函数的解析解
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FFFKKJ

捐助贵宾 (正式写手)

[求助] 在定义域内单调的函数，为什么无法得到其反函数的解析解 已有3人参与

原函数如下：

y=3*x/(2+x^3)

此函数在区间[0,1]内是单调的，我希望知道这个函数在这个区间的反函数的表达式。

利用MATLAB计算得到的结果：

((1 - 1/y^3)^(1/2) - 1)^(1/3) + 1/(y*((1 - 1/y^3)^(1/2) - 1)^(1/3))

但这个结果返回去对应不上。

例如：原函数x=0.1时，y=0.1499; 把y=0.1499 代入反函数，结果却为虚数1.3680 + 0.0000i。因为1 - 1/y^3是个负数，但却对它开二次方。

这是什么原因造成的呢？有没有大神能解释下或者支个招应该如何求解？
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1楼 2017-08-17 19:42:49
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
举一个很简单的例子，y=e^x+lnx这个函数在定义域上单调递增，显然它的反函数的解析表达式不存在。
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PreferenceforMathematics
5楼2017-08-19 19:38:13
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maolo927

银虫 (正式写手)
反函数存在和反函数的解析表达式存在是两回事。
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6楼2017-08-20 08:32:00
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你是谁呀，是

新虫 (正式写手)
反函数存在性与能否为显函数，这根本不是一回事，单调性保证了反函数存在，但不能保证能表达为显函数。

发自小木虫Android客户端
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8楼2017-08-20 12:34:59
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普通回帖

qfpyj49
2楼2017-08-18 11:32:19
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
FFFKKJ: 金币+5, ★有帮助, 感谢 2017-08-22 17:20:21
Matlab解出来的是:
>> solve(f,'x')

ans =

[                                                                                                    1/y*((-y+((-1+y^3)/y)^(1/2))*y^2)^(1/3)+1/((-y+((-1+y^3)/y)^(1/2))*y^2)^(1/3)]
[ -1/2/y*((-y+((-1+y^3)/y)^(1/2))*y^2)^(1/3)-1/2/((-y+((-1+y^3)/y)^(1/2))*y^2)^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/y*((-y+((-1+y^3)/y)^(1/2))*y^2)^(1/3)-1/((-y+((-1+y^3)/y)^(1/2))*y^2)^(1/3))]
[ -1/2/y*((-y+((-1+y^3)/y)^(1/2))*y^2)^(1/3)-1/2/((-y+((-1+y^3)/y)^(1/2))*y^2)^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/y*((-y+((-1+y^3)/y)^(1/2))*y^2)^(1/3)-1/((-y+((-1+y^3)/y)^(1/2))*y^2)^(1/3))]
你取第一个不合适吧!
可以考虑用牛顿迭代法!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
3楼2017-08-18 23:55:49
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
FFFKKJ: 金币+2, ★有帮助, 感谢 2017-08-22 17:20:57
函数是单调寒酸，其反函数不一定是单调函数。就楼主这个问题，可借助一元三次方程求根公式得到解析解。而在复数域里对应于一个y的值可能有三个x的根相对应。
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4楼2017-08-19 11:54:53
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znqery543
7楼2017-08-20 12:11:48
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
FFFKKJ: 金币+10, ★★★很有帮助, 非常感谢 2017-08-22 17:13:21
若楼主真想计算它的反函数，可以采用图下的公式。
它是用级数的形式给出反函数的表达式的：
在定义域内单调的函数，为什么无法得到其反函数的解析解
捕获.PNG
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PreferenceforMathematics
9楼2017-08-20 14:52:12
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FFFKKJ

捐助贵宾 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2017-08-20 14:52:12
若楼主真想计算它的反函数，可以采用图下的公式。
它是用级数的形式给出反函数的表达式的：

捕获.PNG

非常感谢 我求解这个反函数的目的 是需要用这个反函数继续做符号运算 然后求不定积分的解析解

如果采用您给的这个方法 可能后面求不定积分又会比较麻烦？

现在采用的方法是笨一点的。。。直接用MATLAB在这个区间上拟合反函数的曲线，得到一个多项式，精度损失一些，但比较利于后续的积分运算。

非常感谢您的帮助！
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10楼2017-08-22 17:16:12
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