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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

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[求助] 二道定积分计算题

1、计算定积分: $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+2\cos x}{3\sin x+\cos x}dx$ ；

2、设 $t\in (0,1)$ ，计算积分: $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left ( \tan x \right )^{1-2t}dx$ 。

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2017-08-03 11:10:37

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alober

木虫 (著名写手)

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hylpy(Edstrayer代发): 金币+10, good 2017-08-04 05:18:32

$I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{3\sin x+\cos x}dx,I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{3\sin x+\cos x}dx \Rightarrow \begin{cases}3I_1+I_2=\frac{\pi}{2}\\I_1-3I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x-3\cos x}{3\sin x+\cos x}=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d(3\sin x+\cos x)}{3\sin x+\cos x}\end{cases}=[-\ln(3\sin x+\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-\ln3 \Rightarrow I_1=\frac{1}{10}(\frac{3\pi}{2}-\ln3),I_2=\frac{1}{10}(\frac{\pi}{2}+3\ln3)$
$I \mathop{=}^{\tan x \to x} \int_{0}^{\infty}\frac{x^{1-2t}}{1+x^2}dx \mathop{=}^{x^2 \to x}\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{-t}}{1+x}dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{1-t-1}}{1+x^{(1-t)+(1-(1-t))}}dx = \frac{1}{2}B(1-t,t) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{\sin(t\pi)}$

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hylpy

2楼2017-08-03 12:33:58

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Mr__Right

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2楼: Originally posted by alober at 2017-08-03 12:33:58
I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{3\sin x+\cos x}dx,I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{3\sin x+\cos x}dx \Rightarrow \begin{cases}3I_1+I_2=\frac{\pi}{2}\\I_1-3I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{ ...

你咋就这么聪明呢？