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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

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[交流] 两道复旦大学数学分析题已有3人参与

1、求反常积分: $\int_{0 }^{+\infty}\frac{\ln x}{1+x^2}dx$ ；

2、设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足 $f(1)=1$ 和 $\int_{0}^{x}tf(2x-t)dt=\frac{1}{2}\arctan (x^2).$
求: $\int_{0}^{2}f(x)dx.$

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2017-04-11 16:33:07

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alober

木虫 (著名写手)

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Edstrayer: 金币+3 2017-04-12 07:32:37

$\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{p-1}}{1+x^q}dx \mathop{=}^{x^q=t} \frac{1}{q}\int_{0}^{+\infty}\frac{t^{\frac{p}{q}-1}}{1+t}dt = \frac{1}{q}\int_{0}^{+\infty}\frac{t^{\frac{p}{q}-1}}{1+t^{\frac{p}{q}+(1-\frac{p}{q})}}dt = \frac{1}{q}B(\frac{p}{q},1-\frac{p}{q}) = \frac{\pi}{q\sin(\frac{p}{q}\pi)}$

$J(a)=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^a}{1+x^n}dx, I=[\frac{\partial J}{\partial a}]_{a=0} = (\frac{\pi}{n\sin(\frac{a+1}{n}\pi)})'=[\frac{-\pi^2}{n^2(\tan\frac{(a+1)\pi}{n})\sin\frac{(a+1)\pi}{n}}]_{a=0}=-\frac{\pi^2}{n^2}\cot\frac{\pi}{n}\csc\frac{\pi}{n}$

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2楼2017-04-12 07:17:22

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alober

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Edstrayer: 金币+2 2017-04-13 08:00:21

第二个只算出了1到2的积分。
$2x-t \to t, \int_{x}^{2x}(2x-t)f(t)dt = \frac{\arctan x^2}{2}$
$\frac{x}{x^4+1}=(\frac{\arctan x^2}{2})' = -xf(x)+\int_{x}^{2x}[\frac{\partial}{\partial x}((2x-t)f(t))]dt = -xf(x)+2\int_{x}^{2x}f(t)dt$ ，代入x=1