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新虫 (小有名气)

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专业: 几何学

[交流] 这个题怎么做啊，求助大神已有1人参与

没有思路……

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1楼 2017-04-04 12:06:38

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alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 18 (小学生)
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红花: 25
帖子: 2681
在线: 473.6小时
虫号: 3331731
注册: 2014-07-20

★
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空集显然是开集，因此不妨设 $G' = f^{-1}(G) \neq \varnothing$ ，取 $a \in G'$ ，则 $f(a) \in G$ ，但G是开集，因此存在 $U(f(a),\varepsilon) \subset G$ ，而f(x)在点a连续，于是存在 $\delta > 0$ ，使得对任意的 $x \in U(a,\delta)$ 都有 $\abs{f(x)-f(a)} < \varepsilon$ ，从而 $f(x) \in U(f(a),\varepsilon) \subset G$ ，即有 $x = f^{-1}(f(x)) \in G'$ ，因此 $U(a,\delta) \subset G'$ ，由定义知G'是开集。必要性成立。

对开集G'有 $G = f^{-1}(G')$ 是开集，已知每个开集的原像都是开集，因此对 $a \in G$ 和开集 $U(f(a),\varepsilon)$ ， $f^{-1}U(f(a),\varepsilon)$ 成为G里的开集，但 $a \in f^{-1}U(f(a),\varepsilon)$ ，由开集的定义知存在 $U(a,\delta) \subset f^{-1}U(f(a),\varepsilon)$ ，用f作用即有 $f(U(a,\delta)) \subset U(f(a),\varepsilon)$ ，由定义知f在a连续，由a的任意性知f连续。充分性成立。