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hylpy

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[交流] 求证不等式已有4人参与

if $x>0$ and $a_i>0,i=1.2.\cdots ,n$ and $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k}=1$ prove that

$\sum_{k=1}^{n}\sqrt[a_k]{x}\leq x+n-1$ .

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2017-03-05 12:31:59

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立迷特

木虫 (小有名气)

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★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

利用不等式(1+x-1)^t<=1+t(x-1) （0<t<1)立得。

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3楼2017-03-06 09:31:20

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hylpy

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引用回帖:

3楼: Originally posted by 立迷特 at 2017-03-06 09:31:20
利用不等式(1+x-1)^t<=1+t(x-1) （0<t<1)立得。

此不等式不对吧?

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凡事，一笑而过。。。。。。

4楼2017-03-06 13:50:58

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hylpy

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刚才试了下，利用 $AM-GM$ 不等式。

证：由 $AM-GM$ ,对于任意 $k,$ ,有

$\sqrt[a_k]{x}=\sqrt[(a_k-1)+1]{x^1\cdot 1^{(a_k-1)}}\leq \frac{x\cdot 1+1\cdot (a_k-1)}{1+(a_k-1)}=\frac{x-1}{a_k}+1.$

$\therefore$ $\sum_{k=1}^{n}\sqrt[a_k]{x}\leq \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{x-1}{a_k}+1\right)=x+n-1.$