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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 什么是开域，闭域，区域
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clcfang

银虫 (小有名气)

[求助] 什么是开域，闭域，区域

如图，是区域吗？能举些例子说明各种情况吗？

什么是开域，闭域，区域
无标题.jpg
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数学！数学！
1楼 2017-02-22 19:54:48
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alober

木虫 (著名写手)
★ ★
Edstrayer: 金币+2 2017-02-23 00:14:21
用定义，区域定义成连通的开集，就是对平面点集D，D的每个点都是内点，D中任意两点能用完全属于D的折线连接。
图中直线段部分上的点不是D的内点，不满足开集性质，所以不是区域。
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2楼2017-02-22 20:09:05
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clcfang

银虫 (小有名气)
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2楼: Originally posted by alober at 2017-02-22 20:09:05
用定义，区域定义成连通的开集，就是对平面点集D，D的每个点都是内点，D中任意两点能用完全属于D的折线连接。
图中直线段部分上的点不是D的内点，不满足开集性质，所以不是区域。

开域连同其界点不也是区域吗？直线段不就是界点吗？
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数学！数学！
3楼2017-02-23 10:54:59
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alober

木虫 (著名写手)
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3楼: Originally posted by clcfang at 2017-02-23 10:54:59
开域连同其界点不也是区域吗？直线段不就是界点吗？...

我不太清楚开域是怎么定义的，主楼的图里是闭区域，但不是区域。按定义去证明就行。要是觉得我说的不太清楚，楼主再问问懂的。
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4楼2017-02-23 11:03:46
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alober

木虫 (著名写手)
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4楼: Originally posted by alober at 2017-02-23 11:03:46
我不太清楚开域是怎么定义的，主楼的图里是闭区域，但不是区域。按定义去证明就行。要是觉得我说的不太清楚，楼主再问问懂的。...

主楼里的图如果按闭区域的定义，也不是闭区域。闭区域要从区域开始定义，区域连同它的边界点一起构成闭区域，区域D的边界点P是指：P的任意邻域内都必须有属于D和不属于D的点，直线上的点的任意邻域内不一定有属于D的点，所以也不是闭区域。
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5楼2017-02-23 11:11:10
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clcfang

银虫 (小有名气)
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5楼: Originally posted by alober at 2017-02-23 11:11:10
主楼里的图如果按闭区域的定义，也不是闭区域。闭区域要从区域开始定义，区域连同它的边界点一起构成闭区域，区域D的边界点P是指：P的任意邻域内都必须有属于D和不属于D的点，直线上的点的任意邻域内不一定有属于D ...

书上是先定义开域，然后定义闭域，区域。开域闭域都是区域
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6楼2017-02-23 11:41:03
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alober

木虫 (著名写手)
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6楼: Originally posted by clcfang at 2017-02-23 11:41:03
书上是先定义开域，然后定义闭域，区域。开域闭域都是区域...

我觉得你说的开域就是我所说的区域。转成你看到的定义，就是要先从开域开始定义闭域，再定义区域。那一样的，先明确什么是开域，你的书上是不是也要求开域必须得是开集？你的图片里只有中间的空心部分是开集，或者它的外边的无界的部分也是开集，从这两部分中的一个才能定义开域。先把开域定义出来，存在了开域才能再定义闭域，才能再定义区域，如果没有开域也就没有区域了。所以空心部分D是开集，是开域，连同空心部分和那个像圆的部分一起作为闭域，这都是区域。但直线段部分不是，它不是开集D的边界。如果指的是空心部分和直线段之外的那个平面补集，它也是开域，也是区域。区域没有开区域的补集一定是闭区域的性质。
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7楼2017-02-23 13:00:47
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clcfang

银虫 (小有名气)
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7楼: Originally posted by alober at 2017-02-23 13:00:47
我觉得你说的开域就是我所说的区域。转成你看到的定义，就是要先从开域开始定义闭域，再定义区域。那一样的，先明确什么是开域，你的书上是不是也要求开域必须得是开集？你的图片里只有中间的空心部分是开集，或者 ...

谢谢你这么耐心详细的回答。我有疑问，直线段部分为什么不是边界点呢？直线段的点也属于D的话不就是边界了吗？
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8楼2017-02-24 14:55:11
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alober

木虫 (著名写手)
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8楼: Originally posted by clcfang at 2017-02-24 14:55:11
谢谢你这么耐心详细的回答。我有疑问，直线段部分为什么不是边界点呢？直线段的点也属于D的话不就是边界了吗？...

假设你说的是画线部分连同圆圈里面的那部分一起构成闭区域D'（我猜我这里说的闭区域可能就是你说的闭域），根据定义，画线部分上的点的任意邻域都同时含有属于D'和不属于D'的部分，所以画线部分都是D'的边界点，因此D'去掉画线部分后，得到的D就是区域（我猜我这里说的区域就是你说的开域）。再根据定义，区域D的边界点连同区域D一起构成闭区域，而直线段上的点P存在一个邻域B，使得B中的点都不属于区域D，所以直线段上的点不是区域D的边界点，因此也不能和区域D一起构成闭区域。
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9楼2017-02-24 16:23:07
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clcfang

银虫 (小有名气)
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9楼: Originally posted by alober at 2017-02-24 16:23:07
假设你说的是画线部分连同圆圈里面的那部分一起构成闭区域D'（我猜我这里说的闭区域可能就是你说的闭域），根据定义，画线部分上的点的任意邻域都同时含有属于D'和不属于D'的部分，所以画线部分都是D'的边界点，因 ...

明白了。谢谢。非常感谢
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数学！数学！
10楼2017-02-24 18:36:16
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