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hylpy

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[求助] 一道积分题

计算积分:
$\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{\ln (9-x)}}{\sqrt{\ln (9-x)}+\sqrt{\ln (x+3)}}dx.$

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2017-01-22 10:06:50

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匿名

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2楼2017-01-22 10:42:34

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alober

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x -> x-3
$I=\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+\sqrt{\frac{6+x}{6-x}}}dx=-\int_{1}^{-1}\frac{1}{1+\sqrt{\frac{6-x}{6+x}}}dx=\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+\sqrt{\frac{6-x}{6+x}}}dx$

$2I=\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+\sqrt{\frac{6+x}{6-x}}}dx+\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+\sqrt{\frac{6-x}{6+x}}}dx=\int_{-1}^{1}1dx$
I=1

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3楼2017-01-22 10:45:45

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alober

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hylpy(Edstrayer代发): 金币+10 2017-01-23 03:38:52

取对数符号都忘了打上去，下面补上。形式都是一样的。
x -> x-3
$I=\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+\sqrt{\frac{\ln(6+x)}{\ln(6-x)}}}dx=-\int_{1}^{-1}\frac{1}{1+\sqrt{\frac{\ln(6-x)}{\ln(6+x)}}}dx=\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+\sqrt{\frac{\ln(6-x)}{\ln(6+x)}}}dx$

$2I=\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+\sqrt{\frac{\ln(6+x)}{\ln(6-x)}}}dx+\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+\sqrt{\frac{\ln(6-x)}{\ln(6+x)}}}dx=\int_{-1}^{1}1dx$
I=1

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4楼2017-01-22 11:03:49

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5楼2017-01-22 11:14:20

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budongi

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6楼2017-01-22 11:30:36

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hylpy

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此题是1987年，第48届美国大学生数学竞赛试题。4楼是用换元的方法计算的。可以利用积分的换元性质，得到此类题的更一般的计算公式。

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凡事，一笑而过。。。。。。

7楼2017-01-22 12:57:56

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hylpy

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引用回帖:

4楼: Originally posted by alober at 2017-01-22 11:03:49
取对数符号都忘了打上去，下面补上。形式都是一样的。
x -> x-3
I=\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+\sqrt{\frac{\ln(6+x)}{\ln(6-x)}}}dx=-\int_{1}^{-1}\frac{1}{1+\sqrt{\frac{\ln(6-x)}{\ln(6+x)}}}dx=\int_{-1}^{ ...

我想把30币全给你，可以你没有点“应助”，所以我给不了。很晕

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凡事，一笑而过。。。。。。

8楼2017-01-23 07:05:38

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令 $I=\int_{a}^{b}\frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)}dx$ .
并注意到 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$ ，只要令 $x=a+b-t$ ,即可。
$\Rightarrow I=\int_{a}^{b}(1-\frac{f(a+b-x)}{f(x)+f(a+b-x)})dx=(b-a)-I$
$\therefore I=\frac{1}{2}(b-a)$
令 $f(x)=\sqrt{\ln (9-x)},a=2,b=4$
则所求积分 $I=1$ .

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9楼2017-01-23 16:09:32

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10楼2017-01-24 18:34:35

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