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南方科技大学公共卫生及应急管理学院2026级博士研究生招生报考通知(长期有效)
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guozhonghai

新虫 (小有名气)

[求助] 求一道高等代数存在性问题的解已有1人参与

设P是数域,V是所有n阶矩阵构成的数域P上的线性空间,f是V上的线性变换.证明:如果对任意的A,B属于V,都有f(AB)=f(A)f(B)
则对任意的X属于V,一定存在n阶可逆矩阵Q,使得f(X)=Q^{-1}XQ.
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guozhonghai

新虫 (小有名气)

引用回帖:
3楼: Originally posted by xylslyx at 2016-12-06 23:23:07
先证f是单射,再从可逆线性变换群对矩阵空间V群作用下的不变量(秩相等)去证明

123.GIF

本题有难度,没有见过同类题目,不好得到思路。而且构造单射也不易想到,学习了。非常感谢!!!
4楼2016-12-08 22:24:56
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查看全部 6 个回答

0404600213

金虫 (正式写手)

线性变换有性质f(X+Y)=f(X)+f(Y),加上题设条件可以证明f(X)和X有相同的特征多项式

发自小木虫Android客户端
2楼2016-12-06 21:50:24
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xylslyx

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

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感谢参与,应助指数 +1
guozhonghai: 金币+50, ★★★★★最佳答案, 解答详细,构思巧妙。赞 2016-12-08 22:21:03
先证f是单射,再从可逆线性变换群对矩阵空间V群作用下的不变量(秩相等)去证明
求一道高等代数存在性问题的解
123.GIF

3楼2016-12-06 23:23:07
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guozhonghai

新虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by 0404600213 at 2016-12-06 21:50:24
线性变换有性质f(X+Y)=f(X)+f(Y),加上题设条件可以证明f(X)和X有相同的特征多项式

非常感谢!
5楼2016-12-08 22:25:25
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