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啊哈哈哈林L

新虫 (初入文坛)

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[交流] 大一高数

这一题求帮忙。

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1楼 2016-11-09 19:13:36

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clytze_默默

铜虫 (小有名气)

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★
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不知道这么解对不对！
解：
   y‘’=4a(cosθ)^2-4a(sinθ)^2=0
   即
      tanθ=1、-1
   即
      cotθ=1、-1
   不存在y‘’不存在的情况。
   那么就是
   x=2a、-2a时，为拐点

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2楼2016-11-10 15:16:28

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Mr__Right

专家顾问 (著名写手)

专家经验: +31
数学EPI: 1
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管辖: 程序语言

★
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关键是求y对x的二阶导数，

一种复杂点的方法，把 $\theta$ 消掉，变成显式的
$y=\dfrac{8a^3}{4a^2+x^2}$

另外一种就是通过
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}$
推导出
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\dfrac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}$ 的表达式，

然后代入求表达式为0时候，即二阶导数为0的时候x的值。

下面拐点计算结果可以核对答案：
$x=\pm\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$
下面点符合条件
$\begin{array}{cc}\left(\dfrac{2a}{\sqrt{3}},\dfrac{3a}{2}\right)\\\left(-\dfrac{2a}{\sqrt{3}},\dfrac{3a}{2}\right)\end{array}$

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文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。

3楼2016-11-10 16:37:55

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alober

木虫 (著名写手)

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注册: 2014-07-20

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$(\frac{x}{2a})^2+1=cot^2\theta+1=\csc^2\theta=\frac{1}{\sin^2\theta}=\frac{2a}{y}$ ，故 $y=\frac{2a}{(\frac{x}{2a})^2+1}=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}$ ，易知 $y''=\frac{16a^3(3x^2-4a^2)}{(x^2+4a^2)^3}$ ，令其为零可知可能的拐点是 $x=\pm\frac{2a}{\sqrt{3}}$ ，分别代入 $y'''=-\frac{192xa^3(x^2-4a^2)}{(x^2+4a^2)^4}$ 知都不为零，所以都是拐点。