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panda

木虫 (著名写手)

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[求助] 求极限已有4人参与

需要过程，如果有好方法再加金币。题目如下图

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1楼 2016-11-04 14:16:36

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alober

木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
panda: 金币+22, ★★★很有帮助 2016-11-05 10:34:08

显然 $x_n=(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^6})(1+\frac{1}{2^8})\cdots(1+\frac{1}{2^{2n}})$ 单调增加，而 $1+x<e^x$ ，因此 $x_n<(1+\frac{1}{2^1})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^3})\cdots(1+\frac{1}{2^n})<e^{\frac{1}{2^1}}\cdot e^{\frac{1}{2^2}}\cdots e^{\frac{1}{2^n}}=e^{\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}}<e$ ，因此 $x_n$ 单调有界，故必定收敛。

取 $x_n$ 的子列 $y_n=(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})\cdots(1+\frac{1}{2^{2^n}})$ ，使用收敛数列的任意子列与原数列收敛到同一极限，即知 $\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=\frac{4}{3}\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})\cdots(1+\frac{1}{2^{2^n}})=\frac{4}{3}$

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14楼2016-11-04 18:57:13

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hylpy

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

分子分母同乘 $\left (\frac{1}{1-2^{2}} \right ).$

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凡事，一笑而过。。。。。。

2楼2016-11-04 14:26:30

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i维数

木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

引用回帖:

7楼: Originally posted by panda at 2016-11-04 17:01:53
比如(1+1/2^6)这一项约不掉
...

1+1/2^6是不在式子里面的，因为6不能写成2^n的形式，1+1/2^(2^6)才在式子里面。见http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=9961629&fpage=1&target=self&page=1里面我的解答或者其他虫友的解答。

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8楼2016-11-04 17:33:50

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panda

木虫 (著名写手)

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引用回帖:

8楼: Originally posted by i维数 at 2016-11-04 17:33:50
1+1/2^6是不在式子里面的，因为6不能写成2^n的形式，1+1/2^(2^6)才在式子里面。见http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=9961629&fpage=1&target=self&page=1里面我的解答或者其他虫友的解答。...

，可能是我写的不清楚，题目里是2^(2n)，不是2^(2^n)

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9楼2016-11-04 17:38:18

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