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i维数木虫 (正式写手)
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关于连续函数零点问题 已有1人参与
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| 是否存在[a,b]区间上的连续函数，满足f(a)f(b)<0,且f(x)在(a,b)上有无穷多个零点？ |
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2楼2016-09-07 23:45:31
i维数
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3楼2016-09-08 00:09:45
Edstrayer
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4楼2016-09-08 00:10:15
5楼2016-09-08 00:36:53
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，更一步，是否存在函数f,使它在（a,b）上的全部零点的集合是不可数集？ 6楼2016-09-08 00:39:24
i维数
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7楼2016-09-08 00:40:28
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8楼2016-09-08 00:41:14
9楼2016-09-08 00:47:53
hank612
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可以非常轻易地构造出一个[0,1]上的连续函数f(x), 它的零点集合恰好就是Cantor三分集(一个不可数的疏集): 距离函数 f(x)=dist(x, E) , E 为康托集. 其实,这结果也是网上现成的, 网友们还提供各种相关结果或构造呢. http://mathoverflow.net/question ... continuous-function 定理: In a normal topological space, the zero-sets of continuous functions are precisely the closed Hence in any metric space all closed sets are, including the Cantor set. |
10楼2016-09-08 07:42:14
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