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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于连续函数零点问题
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i维数

木虫 (正式写手)

[求助] 关于连续函数零点问题 已有1人参与

是否存在[a,b]区间上的连续函数，满足f(a)f(b)<0,且f(x)在(a,b)上有无穷多个零点？
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1楼 2016-09-07 23:01:11
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哈哈笑泥

金虫 (著名写手)
xsin(1/x)

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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2楼2016-09-07 23:45:31
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 哈哈笑泥 at 2016-09-07 23:45:31
xsin(1/x)

你这里的f(a)=f(0+)=0，好像并不符合呀
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3楼2016-09-08 00:09:45
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界


满足楼主的所有要求，函数在内有无穷多个零点
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2016-09-08 00:10:15
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哈哈笑泥

金虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by i维数 at 2016-09-08 00:09:45
你这里的f(a)=f(0+)=0，好像并不符合呀...

随便取个a=-1/3

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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5楼2016-09-08 00:36:53
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-09-08 00:10:15
f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}(x\neq 0)
满足楼主的所有要求，函数在(-2\pi,+2\pi)内有无穷多个零点x_n=\frac{1}{n\pi}(n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\})

懂了，谢谢版主大人，更一步，是否存在函数f,使它在（a,b）上的全部零点的集合是不可数集？
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6楼2016-09-08 00:39:24
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by 哈哈笑泥 at 2016-09-08 00:36:53
随便取个a=-1/3
...

懂了，谢谢！
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7楼2016-09-08 00:40:28
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by i维数 at 2016-09-08 00:39:24
懂了，谢谢版主大人，更一步，是否存在函数f,使它在（a,b）上的全部零点的集合是不可数集？...

f是闭区间上的连续函数。
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8楼2016-09-08 00:41:14
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哈哈笑泥

金虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
i维数: 金币+5, ★★★★★最佳答案, 谢了，虽然构造很简单，可是也是正确答案。 2016-09-08 12:42:47
引用回帖:
6楼: Originally posted by i维数 at 2016-09-08 00:39:24
懂了，谢谢版主大人，更一步，是否存在函数f,使它在（a,b）上的全部零点的集合是不可数集？...

其实很简单的，随便构造，x∈(-1，1)，f＝0，其他连续的接起来(例如斜着的射线)！

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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9楼2016-09-08 00:47:53
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by i维数 at 2016-09-08 00:41:14
f是闭区间上的连续函数。...

可以非常轻易地构造出一个[0,1]上的连续函数f(x), 它的零点集合恰好就是Cantor三分集(一个不可数的疏集): 距离函数 f(x)=dist(x, E) , E 为康托集.

其实,这结果也是网上现成的, 网友们还提供各种相关结果或构造呢.

http://mathoverflow.net/question ... continuous-function

定理: In a normal topological space, the zero-sets of continuous functions are precisely the closed sets.

Hence in any metric space all closed sets are, including the Cantor set.
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We_must_know. We_will_know.
10楼2016-09-08 07:42:14
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