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wall_2012

铁虫 (小有名气)

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[求助] 求解反常积分已有3人参与

计算反常积分 ${\int_u^{+\infty}\frac{\sqrt{x}}{ax^2+bx+c}\textrm{d}x}$ ，其中这里
${b^2-4ac<0\\ a>0\\ c>0\\ u>0}$

具体的如何计算积分
${\int_u^{+\infty}\frac{\sqrt{x}}{x^2-2x+2}\textrm{d}x}$

谢谢！

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1楼 2016-08-13 10:05:01

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Nonsmooth

银虫 (著名写手)

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引用回帖:

6楼: Originally posted by peterflyer at 2016-08-15 17:57:13
关键是分母不能够进行分解因式来转换成一次和二次多项式的乘积，这又如何套用有理分式的积分结果呢？...

我后来想了一下，不用那么多废话，用复数做就是了，全部搞成一次的。因为分母的根都不在实数轴上，即积分路径不经过奇点，这应该是最简单的。另外，也不用扯到无穷。

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7楼2016-08-15 18:01:07

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Mr__Right

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
wall_2012: 金币+5, ★★★很有帮助, 上面的一般情况怎么计算的呢？有没有具体过程呀！非常感谢 2016-08-17 21:00:48

$u>0$
可以得到：
$\sqrt{1+i}\arctan\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{(-1+i)u}}\right)+\sqrt{1-i}\arctan\left(\frac{(-1)^{3/4}\sqrt{(-1-i)u}}{u}\right)$

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文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。

3楼2016-08-13 12:57:42

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Nonsmooth

银虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

先把根号去掉，这个没问题吧？再用留数方法计算0到无穷的积分。至于0到根号u的积分，多项式/多项式，翻翻数分的书。

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2楼2016-08-13 11:23:11

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Mr__Right

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3楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-08-13 12:57:42
u>0
可以得到：
\sqrt{1+i}\arctan\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{(-1+i)u}}\right)+\sqrt{1-i}\arctan\left(\frac{(-1)^{3/4}\sqrt{(-1-i)u}}{u}\right)

其实写成这样似乎更恰当

$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}} \left(\left(\sqrt{2}-1\right) \left(\ln \left(u-\sqrt{2 \left(1+\sqrt{2}\right)} \sqrt{u}+\sqrt{2}\right)-\ln \left(u+\sqrt{2 \left(1+\sqrt{2}\right)} \sqrt{u}+\sqrt{2}\right)\right)-2 \arctan\left(-\sqrt{2 \left(1+\sqrt{2}\right)} \sqrt{u}+\sqrt{2}+1\right)+2 \arctan\left(\sqrt{2 \left(1+\sqrt{2}\right)} \sqrt{u}+\sqrt{2}+1\right)-2 \pi \right)$

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4楼2016-08-13 22:37:52

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peterflyer

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5楼2016-08-14 15:20:03

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2楼: Originally posted by Nonsmooth at 2016-08-13 11:23:11
先把根号去掉，这个没问题吧？再用留数方法计算0到无穷的积分。至于0到根号u的积分，多项式/多项式，翻翻数分的书。

关键是分母不能够进行分解因式来转换成一次和二次多项式的乘积，这又如何套用有理分式的积分结果呢？

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6楼2016-08-15 17:57:13

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7楼: Originally posted by Nonsmooth at 2016-08-15 18:01:07
我后来想了一下，不用那么多废话，用复数做就是了，全部搞成一次的。因为分母的根都不在实数轴上，即积分路径不经过奇点，这应该是最简单的。另外，也不用扯到无穷。...

楼主能把你的想法写出来让大家学习一下嘛。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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8楼2016-08-15 18:43:48

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8楼: Originally posted by peterflyer at 2016-08-15 18:43:48
楼主能把你的想法写出来让大家学习一下嘛。
...

根号去掉后分子二次，分母四次，分母四个根，成对虚根。分解成四个分母为一次的部分..........

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9楼2016-08-15 19:10:46

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9楼: Originally posted by Nonsmooth at 2016-08-15 19:10:46
根号去掉后分子二次，分母四次，分母四个根，成对虚根。分解成四个分母为一次的部分.............

关键是将几个复数的对数函数之和如何化成实函数。楼主怎么做的呢？

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10楼2016-08-15 19:17:18

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