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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 一道平面几何的习题
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[交流] 一道平面几何的习题 已有9人参与

题目：如图所示，设K是正n边形，O是K的外接圆的圆心，PQ和QR是K的相邻的两边，A是PQ的中点，B是垂直于QR的圆O的半径OC的中点。试计算
Hint：用含n的代数式表示。

一道平面几何的习题
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼 2016-08-03 00:38:01
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

c333000

新虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
这么简单的题也问啊
2*pi/n啊
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6楼2016-08-04 00:19:17
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c333000

新虫 (小有名气)
★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+1 2016-08-04 01:18:40
不好意思看错了啊  抱歉抱歉
在o点建立平面直角坐标系，oc为x轴，y轴按右手法则确定，易知C（r，0）；所以B（r/2，0）；
OA=r*cos（pi/n）；所以A（r*cos（pi/n）*cos（2pi/n），r*cos（pi/n）*sin（2pi/n））；
所以BC向量为（r/2，0）；BA向量为（r*cos（pi/n）*cos（2pi/n）-r/2，r*cos（pi/n）*sin（2pi/n））；
所以角ABC为向量BC和向量BA的夹角（即向量BA在向量BC上的单位投影），整理即可。
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7楼2016-08-04 00:45:47
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普通回帖

i维数

木虫 (正式写手)
★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+2 2016-08-03 02:40:32
说一下思路：先建系，O(0,0),R(r,0),Q(r*cos(2pi/n),r*sin(2pi/n)),P(r*cos(4pi/n),r*sin(4pi/n)).因为A为PQ的中点，所以A坐标可以求出.又C(r*cos(pi/n),r*sin(pi/n)),B为OC中点，所以B坐标也可以求出。所以AB,BC,CA的长度均已知，由余弦定理可以求出cos∠ABC的值，从而求出∠ABC。
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2楼2016-08-03 00:57:31
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liuqh

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+2 2016-08-03 10:09:22
设圆半径为1，三角形OAB中，OA=cos(90/n),OB=1/2,角AOB=180/n,运用正弦定理得角OAB，角ABC=角AOB＋角OAB
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3楼2016-08-03 08:07:50
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
2楼: Originally posted by i维数 at 2016-08-03 00:57:31
说一下思路：先建系，O(0,0),R(r,0),Q(r*cos(2pi/n),r*sin(2pi/n)),P(r*cos(4pi/n),r*sin(4pi/n)).因为A为PQ的中点，所以A坐标可以求出.又C(r*cos(pi/n),r*sin(pi/n)),B为OC中点，所以B坐标也可以求出。所以AB,BC,C ...

解析法可以算出结果，但是中间的余弦定理的应用，中间结果的化简比较复杂
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2016-08-03 23:37:13
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
3楼: Originally posted by liuqh at 2016-08-03 08:07:50
设圆半径为1，三角形OAB中，OA=cos(90/n),OB=1/2,角AOB=180/n,运用正弦定理得角OAB，角ABC=角AOB＋角OAB

用正弦定理得到的结果相对简单一些
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
5楼2016-08-03 23:37:57
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xiashaoyan

新虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
初中的知识就能解答了。AB平行OP，所以角ABC等于角POC，而由于AP AQ QC CR线段是相等的，所以角POA AOQ QOC把角POC三等分了，而PQ QR是n边行，自然能输出每个边对应的角，那么角POC即可求出

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8楼2016-08-04 11:28:56
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xiashaoyan

新虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by xiashaoyan at 2016-08-04 11:28:56
初中的知识就能解答了。AB平行OP，所以角ABC等于角POC，而由于AP AQ QC CR线段是相等的，所以角POA AOQ QOC把角POC三等分了，而PQ QR是n边行，自然能输出每个边对应的角，那么角POC即可求出
...

看错题了

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9楼2016-08-04 11:42:24
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
8楼: Originally posted by xiashaoyan at 2016-08-04 11:28:56
初中的知识就能解答了。AB平行OP，所以角ABC等于角POC，而由于AP AQ QC CR线段是相等的，所以角POA AOQ QOC把角POC三等分了，而PQ QR是n边行，自然能输出每个边对应的角，那么角POC即可求出
...

不成立，因为A点不是PC的中点
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
10楼2016-08-04 16:33:38
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