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i维数

木虫 (正式写手)

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[求助] 如何证明这个不等式？

如图，谢谢各位大神！

不等式.png

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1楼 2016-07-30 12:46:07

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i维数

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2楼: Originally posted by hank612 at 2016-08-03 02:41:15
请问一下楼主, 有没有什么提示? 譬如, 用某某定理, 用某某函数的某个展开式, 用某个积分或微分不等式...

从数学软件的数值上看, 不等式左边减右边相当接近0,这使得放缩很困难,很容易就过头了, 迫切需要指路明灯: ...

见图。左边的不等式等价于f(n)>f(n+1).右边的不等式则是我自己猜想的。

karamata不等式.png

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3楼2016-08-03 11:01:40

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hank612

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请问一下楼主, 有没有什么提示? 譬如, 用某某定理, 用某某函数的某个展开式, 用某个积分或微分不等式...

从数学软件的数值上看, 不等式左边减右边相当接近0,这使得放缩很困难,很容易就过头了, 迫切需要指路明灯

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We_must_know. We_will_know.

2楼2016-08-03 02:41:15

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hank612

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3楼: Originally posted by i维数 at 2016-08-03 11:01:40
见图。左边的不等式等价于f(n)>f(n+1).右边的不等式则是我自己猜想的。

karamata不等式.png
...

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=10012407 里面提到的Choi的文章
http://www.ams.org/journals/proc ... -1994-1195477-8.pdf

提到了Chen and Rubin 截至1994 依然Open的一个猜想(见图片)：
如果令 $\lambda(n)$ 为Gamma(n+1,1)分布的中位数median, 即 $\int_0^{\lambda(n)}\frac{t^n e^{-t}}{n!}dt=\frac{1}{2}$ , 那么 $\lambda(n)-n$ 是关于n 单调递减的函数（介于 $\frac{2}{3}$ 和 $\ln{2}$ 之间）。

我们只需要一个弱得多的版本： Chen-Rubin 弱猜想： $\frac{\lambda(n)}{n}$ 是关于n 单调递减的函数。

假设Chen-Rubin 弱猜想成立，我们来看看如何证明 @i维数的猜想(右边那个不等式)
$\frac{\sum_{k=0}^{n+1}\frac{(n+1)^k}{k!}-\frac{e^{n+1}}{2}}{\sum_{k=0}^{n}\frac{n^k}{k!}-\frac{e^n}{2}}<(1+\frac{1}{n})^{n+1}$

1.利用Lagrange 积分型余项的Taylor 展开式 $\sum_{k=0}^{m}\frac{x^k}{k!}f^{(k)}(0)=f(x)-\int_0^{x}\frac{t^m}{m!}f^{(m+1)}(x-t)dt$ ,

取函数f(x)=exp(x), x分别取n和n+1, m分别取n和n+1， i维数的不等式化为

$\frac{\frac{e^{n+1}}{2}-\int_0^{n+1}\frac{t^{n+1}}{(n+1)!}e^{n+1-t}dt}{\frac{e^n}{2}-\int_0^n \frac{t^n}{n!}e^{n-t}dt}<(1+\frac{1}{n})^{n+1}$

2.分子分母消去公因子exp(n), 再利用 $\lambda(n),\lambda(n+1)$ 的定义式，得到

$e\cdot \int_{n+1}^{\lambda(n+1)}\frac{t^{n+1}}{(n+1)!}e^{-t}dt<(1+\frac{1}{n})^{n+1}\cdot \int_{n}^{\lambda(n)}\frac{t^n}{n!}e^{-t}dt$

3.上式等价于 $e\int_{n+1}^{\lambda(n+1)}(\frac{t}{n+1})^{n+1}e^{-t}d\frac{t}{n+1}<\int_n^{\lambda(n)}(\frac{t}{n})^n e^{-t}d\frac{t}{n}$

作个变量替换，得到 $\int_1^{\frac{\lambda(n+1)}{n+1}}e^{-(n+1)(z-1)}z^{n+1}dz<\int_1^{\frac{\lambda(n)}{n}} e^{-n(z-1)}z^ndz$

也就是 $\int_0^{\frac{\lambda(n+1)}{n+1}-1}(\frac{1+t}{e^t})^{n+1}dt<\int_0^{\frac{\lambda(n)}{n}-1} (\frac{1+t}{e^t})^ndt$

4. 由于 1+t<exp(t), 所以被积函数是关于n单调递减的。如果Chen-Rubin 弱猜想成立，那么积分上限也是关于n单调递减的， i维数的不等式显然成立啊。

Emuch031 Chen-Rudin conjecture.png

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4楼2016-08-10 22:54:14

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hank612

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引用回帖:

4楼: Originally posted by hank612 at 2016-08-10 22:54:14
http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=10012407 里面提到的Choi的文章
http://www.ams.org/journals/proc ... -1994-1195477-8.pdf

提到了Chen and Rubin 截至1994 依然Open的一个猜想(见图片)：
如果 ...

晕倒，原来这个Chen-Rubin conjecture 早在2005年就被H. Alzer 肯定地证明了，参考

http://www.math.ku.dk/~berg/manus/convex.pdf

如果打不开连接，请下载附件

恭喜 @i维数，不等式成立。

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附件 1 : convex.pdf

2016-08-10 23:12:20, 111.04 K

We_must_know. We_will_know.

5楼2016-08-10 23:17:20

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