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hank612

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[求助] 首一恒正整系数2n次多项式在任意(2n+1)个点上最大值的下确界已有2人参与

设 $p(x)\in \mathbb{Z}[x]$ 是一个首一的,次数为2n的, 恒正的(没有实数根),整系数的多项式. 任意给出(n+1)个不同整数 $a_0,a_1,...,a_{2n}$ , 要求 $\mathrm{max}p(a_k)$ 的下确界. 我的问题是, 如果对所有满足那四个条件的多项式取下确界, 它应该只跟n 有关, 是否有表达式f(n), 以及达到下确界的多项式长什么样. $f(n)=\mathrm{min}_{p_monic_positive_integral_degree_2n}\mathrm{min}_{a_0<a_1<\dots<a_{2n} integers}\mathrm{max}_{0\leq k \leq 2n}p(a_k)$

譬如, 当 n=1时, $p(x)=x^2+1$ 在 -1,0,1三点处最大值为 2, 而二次多项式不可能取值2 达到三次, 所以 f(1)=2就是下确界.
当 n=2时, $p(x)=(x^2-2)^2+1$ 在 -2,-1,0,1,2 五点处最大值为 5, 我认为 f(2)=5 不可能更小了.

另外, 我觉得, 取到下确界的多项式 (经过平移和反射 $p(\pm x+a)$ ) 会有如下形式 $p(x)=q^2(x)+1$ , 其中 q(x)是某个首一,次数为n, 整系数多项式.

Polya 在不要求首一, 不要求恒正的条件下有图片中的下界, 我不清楚是否能实际达到.

首一恒正整系数2n次多项式在任意(2n+1)个点上最大值的下确界

Polya irreducibility small values.png

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We_must_know. We_will_know.

1楼 2016-07-15 08:33:09

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yrgdy

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
hank612: 金币+10, ★有帮助, 大牛能否详细说明呢？譬如， n=2,3时f(n)是多少？这样我就可以用 oeis.org 猜出一般项公式了 2016-08-19 22:34:15

这个问题能否采用康托尔证明代数为可数集的方法---高度法来试试！另外，图片的全文能否贴出来，谢谢！

2楼2016-08-19 16:24:17

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hank612

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引用回帖:

2楼: Originally posted by yrgdy at 2016-08-19 16:24:17
这个问题能否采用康托尔证明代数为可数集的方法---高度法来试试！另外，图片的全文能否贴出来，谢谢！

图片来自某本书中的一节，没法贴全文。楼主可以搜 " Polya irreducibility criteria" 什么的找到可以下载的文章

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3楼2016-08-19 22:36:52

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yrgdy

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【答案】应助回帖

引用回帖:

3楼: Originally posted by hank612 at 2016-08-19 22:36:52
图片来自某本书中的一节，没法贴全文。楼主可以搜 " Polya irreducibility criteria" 什么的找到可以下载的文章...

希望对你有帮助，谢谢！

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附件 1 : Sup2n20160903.pdf

2016-09-03 12:53:04, 79.49 K

4楼2016-09-03 12:53:12

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hank612

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4楼: Originally posted by yrgdy at 2016-09-03 12:53:12
希望对你有帮助，谢谢！...

你好。你的PDF 文章里除了两条定义以外，就什么都没有了。你可以提供一些与你的定义有关的性质，命题，定理，理论什么的吗？

另外，我很想知道f(2)等于多少，你能帮忙用你的理论推导一下吗？金币可以追加的，辛苦了。非常感谢。

发自小木虫IOS客户端

We_must_know. We_will_know.

5楼2016-09-05 21:11:37

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tigou

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
hank612: 金币+5, ★有帮助, 可否展开说说？尤其能否得到f(2) 和f(3) 的精确值，方便大家进一步研究？？ 2016-10-05 11:06:16

这个题目有点意思。感觉与抽屉原则及多项式单调区间的数目都有关，目测p(x)的单调区间最多有2n个。

0/0的意义是所有数的集合

6楼2016-10-05 10:09:29

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tigou

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【答案】应助回帖

楼主是个热心肠的人。以下参考思路算投桃报李：
$P(2)=X^2(X^2-4)+4,f(2)=4;P(3)=x^2(x^2-4)(x^2-9)+1,f(3)=25.$
沿着以上思路，可方便总结出奇偶数不同情况的规律。

0/0的意义是所有数的集合

7楼2016-10-06 10:15:00

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