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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 证明下面泛函下半连续，怎么搞？
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_kdh

银虫 (正式写手)

[求助] 证明下面泛函下半连续，怎么搞？ 已有1人参与

如图

证明下面泛函下半连续，怎么搞？


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1楼 2016-06-30 17:16:44
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
_kdh: 金币+50, ★★★★★最佳答案 2016-07-07 11:18:14
总的说来，就是根据定义而已。 思路还是相对简单的，写出来就罗嗦了许多。

大致而言，任给两个有限的实数a,b, 如果A充分接近a, B充分接近b, 那么|A-B|就会充分接近|a-b|, 即存在正数0<c=c(a,b)<1使得|A-B|>=c|a-b|, 并且c很接近1-.

譬如，当, 当b不为0时，, 而当b=0时，, 其中是充分小的正数。

那么， c(a,b)视情况可取：若a>0>b,; 若a>0=b, ;
若a>b>0, ;若b>a>0, .

任意给定X中函数f, 对某个给定的剖分, 对每一对相邻的都有一个上面给出的(可以跳过那些使得的相邻对)。 于是取, 相应地令。

立刻知道， 对于任意X中满足 的函数g, 均有
, 且.

这蕴含着，

可是，c是随着趋于1-的。因此，假如在X中趋近f, 当时，有; 而当时， 有趋于无穷大。

这就是泛函下半连续 (lower semi-continuity)的定义。

题外话：由于, 而有界变分泛函是众所周知的（https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_variation）下半连续的， 楼主能否移花接木，得到的下半连续性呢？
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We_must_know. We_will_know.
2楼2016-07-05 23:06:21
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-06 11:06:54
你应该是对的。
麻烦你把细节补充完整，比如\epsilon-\delta语言，这样可以检验方法是否正确。
...

先证明：
        latex \sqrt{(x_i - x_{i- 1})^2 + (g(x_i) - g(x_{i -1}))^2} \ge \sqrt{(x_i - x_{i- 1})^2 + (f(x_i) - f(x_{i -1}))^2} - |g(x_i) - f(x_i) - g(x_{i-1}) + f(x_{i-1})| \latex
两边平方，易得。


1.由上面可以证明：对任意latex \varepsilon > 0 \latex,任意分划latex P \latex,存在f的邻域latex O_\delta(f) \latex，使得latex g\in O_\delta(f) \latex 有：
  latex \sum_{i = 1}^n \sqrt{(x_i - x_{i- 1})^2 + (f(x_i) - f(x_{i -1}))^2}  \le \sum_{i = 1}^n \sqrt{(x_i - x_{i- 1})^2 + (g(x_i) - g(x_{i -1}))^2} + \varepsilon /2 \latex
   对右端取上界，有：
        latex \sum_{i = 1}^n \sqrt{(x_i - x_{i- 1})^2 + (f(x_i) - f(x_{i -1}))^2}  \le L_a^b(g)  + \varepsilon /2 \latex
然后依照
        http://www.guokr.com/post/560750/ 继续下面的证明即可。
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9楼2016-07-07 11:09:30
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-06 11:06:54
你应该是对的。
麻烦你把细节补充完整，比如\epsilon-\delta语言，这样可以检验方法是否正确。
...

你的方法描述起来略麻烦
先证明：
        
两边平方，易得。


1.由上面可以证明：对任意,任意分划,存在f的邻域，使得 有：
  
   对右端取上界，有：
        
然后依照
        http://www.guokr.com/post/560750/ 继续下面的证明即可。
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13楼2016-07-07 11:17:10
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普通回帖

_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-05 23:06:21
总的说来，就是根据定义而已。 思路还是相对简单的，写出来就罗嗦了许多。

大致而言，任给两个有限的实数a,b, 如果A充分接近a, B充分接近b, 那么|A-B|就会充分接近|a-b|, 即存在正数0<c=c(a,b)<1使得|A-B ...

不是c(lambda)=min c_i么

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3楼2016-07-06 10:54:44
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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3楼: Originally posted by _kdh at 2016-07-06 10:54:44
不是c(lambda)=min c_i么
...

你应该是对的。

麻烦你把细节补充完整，比如语言，这样可以检验方法是否正确。

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_kdh
We_must_know. We_will_know.
4楼2016-07-06 11:06:54
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-06 11:06:54
你应该是对的。
麻烦你把细节补充完整，比如\epsilon-\delta语言，这样可以检验方法是否正确。
...

在验证。

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5楼2016-07-06 11:19:47
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_kdh

银虫 (正式写手)
送红花一朵
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4楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-06 11:06:54
你应该是对的。
麻烦你把细节补充完整，比如\epsilon-\delta语言，这样可以检验方法是否正确。
...

没用电脑，只用手机，所以拍图片。我有逻辑上的问题。
证明下面泛函下半连续，怎么搞？-1



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6楼2016-07-06 12:45:36
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by _kdh at 2016-07-06 12:45:36
没用电脑，只用手机，所以拍图片。我有逻辑上的问题。

...

上面的看不清
http://note.youdao.com/yws/publi ... &type=false

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7楼2016-07-06 13:04:24
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_kdh

银虫 (正式写手)
我大概知道我错哪里了

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8楼2016-07-07 07:12:39
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by _kdh at 2016-07-07 11:09:30
先证明：
        latex \sqrt{(x_i - x_{i- 1})^2 + (g(x_i) - g(x_{i -1}))^2} \ge \sqrt{(x_i - x_{i- 1})^2 + (f(x_i) - f(x_{i -1}))^2} - |g(x_i) - f(x_i) - g(x_{i-1}) + f(x_{i-1})| \latex
两边平方，易得。
...

latex怎么编辑，忘了
[latex] \delta [\latex]
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10楼2016-07-07 11:12:01
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