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Edstrayer

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[交流] 如下无穷级数如何求其和？

题目：试证：无穷级数

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^5}=\frac{5\pi^5}{1536}$

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^7}=\frac{61\pi^7}{256\times 6!}$

https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=10270516&target=self&page=2

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-06-16 03:51:47

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hank612

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★
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https://dlmf.nist.gov/25.11
有现成答案

要利用到的公式: 首先(25.11.35), 其次 (25.11.16), 最后 (25.11.14)

Emuch024 Hurwitz 2.png

Emuch024 Hurwitz.png

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We_must_know. We_will_know.

2楼2016-06-16 06:15:50

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哈哈笑泥

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几时能把-1变成1，才牛！

[ 发自手机版 https://muchong.com/3g ]

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3楼2016-06-16 13:29:07

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bluesine

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科苑小木虫

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我只是来膜拜一下hank大神和版主大神

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板凳要做十年冷文章不发一个字

4楼2016-06-16 14:52:27

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fungarwai

新虫 (小有名气)

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★
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$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2m+1}} =\frac{(-1)^{m-1} 2^{2m} \pi^{2m+1}}{(2m+1)!}\sum_{n=0}^{2m+1}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k C_n^k}{n+1}(k+\frac{1}{4})^{2m+1}$ （从2楼推导）

CODE:

clc;clear;

format rat;

for m=1:3

        p(m)=(-1)^(m-1)*2^(2*m)/(2*m+1);s=0;

        for n=0:2*m+1

                for k=0:n

                        s=s+(-1)^k*nchoosek(n,k)*(k+1/4)^(2*m+1)/(n+1);

        end

    end

    p(m)=s*p(m);

end

p

p =

1/16 5/64 61/256

$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{\pi^3}{16\times 2!}$
$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^5}=\frac{5\pi^5}{64\times 4!}$
$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^7}=\frac{61\pi^7}{256\times 6!}$

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5楼2016-06-16 17:51:12

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fungarwai

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Edstrayer: 金币+5 2016-06-17 02:40:13

https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=10270516&page=1

10楼的

$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2m+1}}=\frac{(-1)^m E_{2m}\pi^{2m+1}}{4^{m+1}(2m)!}$

CODE:

clc;clear;

format rat;

for m=1:3

        p(m)=i*(-1)^m/4^(m+1);s=0;

        for k=1:2*m+1

                for j=0:k

                        s=s+(-1)^j*nchoosek(k,j)*(k-2*j)^(2*m+1)/(2^k*i^k*k);

        end

    end

    p(m)=s*p(m);

end

p

p =

1/16 5/64 61/256

符号没有问题

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hank612

6楼2016-06-16 18:27:11

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hank612

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送红花一朵

引用回帖:

6楼: Originally posted by fungarwai at 2016-06-16 18:27:11
https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=10270516&page=1

10楼的

\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2m+1}}=\frac{(-1)^m E_{2m}\pi^{2m+1}}{4^{m+1}(2m)!}

clc;clear;
format rat;
fo ...

无懈可击，结论超级简洁，漂亮的工作

发自小木虫IOS客户端

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We_must_know. We_will_know.

7楼2016-06-16 21:42:22

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