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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 数学分析，傅里叶级数
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李干是

新虫 (小有名气)

[求助] 数学分析，傅里叶级数 已有1人参与

在【a,b】上，有两个傅里叶级数都收敛，而且它们的和函数在【a,b】上相等且连续，问他们的对应系数是否相等？
如果不相等，加上什么条件，使其相等
@laosam280 发自小木虫Android客户端
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1楼 2016-06-15 20:50:18
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
答案是唯一的。

放到L^2空间中考察：
设三角多项式R_n和S_n均点点收敛到连续函数S。
于是S_n-R_n几乎处处收敛到0，从而在L^2中弱收敛到0，因此它与每个三角函数作内积均趋于0，即每个系数均为0。

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11楼2016-06-16 08:43:07
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哈哈笑泥

金虫 (著名写手)
引用回帖:
10楼: Originally posted by 李干是 at 2016-06-16 08:36:40
一个连续函数的傅里叶级数最差的情况就是在个别点上不收敛吗？
...

和函数连续，傅里叶级数连续！

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12楼2016-06-16 08:44:36
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普通回帖

哈哈笑泥

金虫 (著名写手)
相等。傅里叶级数是三角级数，三角级数不一定傅里叶级数。傅里叶级数是和函数特定展开形式，是唯一的; 但和函数的三角级数展开不唯一。

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2楼2016-06-16 00:17:13
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哈哈笑泥

金虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 哈哈笑泥 at 2016-06-16 00:17:13
相等。傅里叶级数是三角级数，三角级数不一定傅里叶级数。傅里叶级数是和函数特定展开形式，是唯一的; 但和函数的三角级数展开不唯一。

例如，∑sinnx/√n，是三角级数，不是傅里叶级数！

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3楼2016-06-16 00:21:32
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
1、同一个函数，当它的展开形式确定后（是单独正弦展开，还是单独余弦展开或者正弦余弦交织着展开），它的傅立叶级数应该是唯一的。
2、仅存在有限个第一类间断点，并满足狄里赫来条件。
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4楼2016-06-16 04:04:45
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by 哈哈笑泥 at 2016-06-16 00:21:32
例如，∑sinnx/√n，是三角级数，不是傅里叶级数！
...

你的意思是说傅里叶级数的系数一定是其和函数由公式求出来的了？

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5楼2016-06-16 07:03:59
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 哈哈笑泥 at 2016-06-16 00:17:13
相等。傅里叶级数是三角级数，三角级数不一定傅里叶级数。傅里叶级数是和函数特定展开形式，是唯一的; 但和函数的三角级数展开不唯一。

你的意思是说一个函数的傅里叶级数如果收敛的话一定是收敛与它本身吗？

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6楼2016-06-16 07:51:11
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哈哈笑泥

金虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by 李干是 at 2016-06-16 07:03:59
你的意思是说傅里叶级数的系数一定是其和函数由公式求出来的了？
...

是的

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7楼2016-06-16 08:18:33
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 哈哈笑泥 at 2016-06-16 08:18:33
是的
...

可是书上不是说了么，一个函数的傅里叶级数收敛也不一定收敛于它本身(⊙o⊙)哦(⊙o⊙)哦

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8楼2016-06-16 08:24:14
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哈哈笑泥

金虫 (著名写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by 李干是 at 2016-06-16 08:24:14
可是书上不是说了么，一个函数的傅里叶级数收敛也不一定收敛于它本身(⊙o⊙)哦(⊙o⊙)哦
...

几乎处处收敛到和函数

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9楼2016-06-16 08:28:27
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
9楼: Originally posted by 哈哈笑泥 at 2016-06-16 08:28:27
几乎处处收敛到和函数
...

一个连续函数的傅里叶级数最差的情况就是在个别点上不收敛吗？

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10楼2016-06-16 08:36:40
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