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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一阶微分方程求解
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qiusuozhong

新虫 (初入文坛)

[求助] 一阶微分方程求解 已有2人参与

计算空气阻力时遇到一个一阶微分方程，如附件图片
可以化简为以下形式，

其中g，A为常数，求v关于t的表达通式
求问通解该如何算？

一阶微分方程求解
Screenshot_1.jpg
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1楼 2016-06-13 14:20:31
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
dv/dt=g-A*v^2=g*(1-A/g*v^2)
dv/(1-A/g*v^2)=g*dt
{1/[1-sqrt(A/g)*v]+1/[1+sqrt(A/g)*v]}*dv=2*g*dt
Ln{[1+sqrt(A/g)*v]/[1-sqrt(A/g)*v]}=2*g*sqrt(A/g)*t + LnC
由t=0 v=0代入上式得到C=1
[1+sqrt(A/g)*v]/[1-sqrt(A/g)*v]}=exp{2*sqrt(A*g)*t}
v=sqrt(g/A)*sh[sqrt(A*g)*t]/ch[sqrt(A*g)*t]
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2楼2016-06-13 14:51:25
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aprillf

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
通解简单的形式应该是类似这样；



tanh 表示双曲正切 tanh(x)=（e^x-e^-x）/(e^x+e^-x)
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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

qiusuozhong
3楼2016-06-13 21:38:29
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
分离变量型
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2016-06-14 02:47:31
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qiusuozhong

新虫 (初入文坛)
送红花一朵
引用回帖:
3楼: Originally posted by aprillf at 2016-06-13 21:38:29
通解简单的形式应该是类似这样；

\sqrt{\frac{g}{A}}\tanh\left(\left({\color{red}C_1}+t\right)\sqrt{gA}\right)

tanh 表示双曲正切 tanh(x)=（e^x-e^-x）/(e^x+e^-x)

请问这个是怎么推倒出通解是这个形式的吗？

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5楼2016-06-15 09:45:58
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qiusuozhong

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2016-06-13 14:51:25
dv/dt=g-A*v^2=g*(1-A/g*v^2)
dv/(1-A/g*v^2)=g*dt
{1/+1/}*dv=2*g*dt
Ln{/}=2*g*sqrt(A/g)*t + LnC
由t=0 v=0代入上式得到C=1
/}=exp{2*sqrt(A*g)*t}
v=sqrt(g/A)*sh/ch...

非常感谢，很详细

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6楼2016-06-15 09:47:07
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