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李干是

新虫 (小有名气)

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积分不等式

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1楼 2016-06-11 21:27:32

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

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令 $G(x)=\int_{0}^x g(t)dt$ , 由题设条件 $\int_{0}^1 g(x)dx=0$ 知道 G(x)是周期为1的可微函数，且G(n)=0.

于是分部积分， $na_n=G(nx)f(x)|_0^1-\int_{0}^1 G(nx)f^{\prime}(x)dx$
等于 $-\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k}^{k+1}G(y)f^{\prime}(\frac{y}{n})d\frac{y}{n}$

利用G(x)的周期性，上式又等于 $-\int_{0}^1 G(t)\left(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f^{\prime}(\frac{k}{n}+\frac{y}{n})\right)dt$

注意到Riemann可积的定义中，只要求小区间的最大长度充分小，无论在小区间上函数取值在哪个点，都有求和趋于一个常数，即闭区间上的积分值。

从而对于任意0<y<1, 只要n 充分大，就有（对y一致的) $|\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f^{\prime}(\frac{k+y}{n})-\int_{0}^1 f^{\prime}(x)dx|$ 充分小。

结合f(1)=f(0) 以及 G(x)是可微周期函数，立刻知道 $na_n\rightarrow 0.$