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金虫 (小有名气)

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[求助] 一道积分问题，可能需要实分析与复分析的知识已有2人参与

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1楼 2016-05-24 23:09:14

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

18楼: Originally posted by i维数 at 2016-05-25 22:15:54
话说可以推广吗

最大值.jpg
...

这是数学中已经成经典的结果

由于本题中内积定义由 $<f,g>:=\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx$ 给出, 所以图片中的
https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_polynomials
$\alpha(x)=x$ 且 moments $m_k=\int_{-1}^1 x^kdx=\frac{2}{k+1}\chi(\mathrm{k even})$

于是取到平方积分最小值的多项式由行列式直接给出. 图片中给出了n=6的例子.按首项必须为1的要求, 就是 $p_6(x)=x^6-\frac{15}{11}x^4+\frac{5}{11}x^2-\frac{5}{231}$

@i维数提了一个很好的问题, 并且数学里已经有了很完整的系统理论. 加油.