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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » Polar分解唯一性证明？
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_kdh

银虫 (正式写手)

[求助] Polar分解唯一性证明？

每个矩阵A可以分解成A=UP,U为酉矩阵，P对称半正定。那么P唯一。而当A可逆时U唯一。咋证啊

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1楼 2016-05-24 21:15:29
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_kdh

银虫 (正式写手)
好吧，是错的

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2楼2016-05-24 21:32:11
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by _kdh at 2016-05-24 21:32:11
好吧，是错的

貌似没有错。。。

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3楼2016-05-24 21:36:23
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
其中星号表示共轭转置。U为全空间到A的像空间的正交投影，一般不是酉算子，当且仅当A可逆时U才是酉算子。

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4楼2016-05-24 22:51:47
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
按照定义，唯一性是自明的。

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5楼2016-05-24 22:53:05
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-24 22:53:05
按照定义，唯一性是自明的。

定义是怎样的

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6楼2016-05-25 07:15:15
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-24 22:51:47
P=|A^{*}A|^{\frac{1}{2}},  其中星号表示共轭转置。U为全空间到A的像空间的正交投影，一般不是酉算子，当且仅当A可逆时U才是酉算子。

P是先规定形式的么

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7楼2016-05-25 07:27:27
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by _kdh at 2016-05-25 07:15:15
定义是怎样的
...

已经写清楚了呀

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8楼2016-05-25 07:57:31
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by _kdh at 2016-05-25 07:27:27
P是先规定形式的么
...

我记错了，查了资料，U应当是从P的像空间到A的像空间的等距，可以扩张为全空间上的酉算子。
简言之，P是先定的，然后定酉算子U，U唯一当且仅当A可逆。

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9楼2016-05-25 10:53:08
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
, 其像空间维数等于A的像空间维数；U作为这两个空间之间的等距，扩张为全空间上的酉算子的方式是唯一的充分必要条件就是那两个像空间日记的维数均等于全空间的维数，也即A可逆。

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10楼2016-05-25 23:02:53
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