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i维数

木虫 (正式写手)

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如图。这里贴出一些常见的无穷乘积，能否由它们推出这四个？谢谢各位！

无穷乘积1.jpg

无穷乘积2.jpg

无穷乘积3.png

无穷乘积4.png

Gamma函数无穷乘积.jpg

双曲余弦无穷乘积.jpg

双曲正弦无穷函数.jpg

余弦函数无穷乘积.jpg

正弦函数无穷乘积.jpg

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1楼 2016-05-06 18:00:56

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 金币+5 2016-05-30 08:33:52

由 Wallis 无限乘积 $\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2}$ （也可以由 Out[34]中 $x=\frac{1}{2}$ 一眼看出）

得出
$\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x}{4k^2-1})\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{4k^2}=\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{\frac{1+x}{4}}{k^2})$ , 再次利用 Out[34], 于是
$\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x}{4k^2-1})=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{\sin{\frac{\pi}{2}\sqrt{1+x}}}{\pi\cdot \frac{\sqrt{1+x}}{2}}$

我得到的是 $\frac{\sin{\frac{\pi\sqrt{1+x}}{2}}}{\sqrt{1+x}}$ , 和楼主 @i维数的Out[28] 不相同

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We_must_know. We_will_know.

7楼2016-05-30 08:22:21

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001gqs

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

除了复变里面的Weierstrass factorization Thm, 我别无他法。

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强悍的老民科

2楼2016-05-06 20:15:40

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maxman

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可以用留数定理推导出

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3楼2016-05-07 10:51:37

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引用回帖:

2楼: Originally posted by 001gqs at 2016-05-06 20:15:40
除了复变里面的Weierstrass factorization Thm, 我别无他法。

好吧，那只能以后再来弄了。。。谢了

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4楼2016-05-07 11:26:50

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