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i维数

木虫 (正式写手)

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[求助] 求教几个无穷乘积的计算已有2人参与

如图。这里贴出一些常见的无穷乘积，能否由它们推出这四个？谢谢各位！

无穷乘积1.jpg

无穷乘积2.jpg

无穷乘积3.png

无穷乘积4.png

Gamma函数无穷乘积.jpg

双曲余弦无穷乘积.jpg

双曲正弦无穷函数.jpg

余弦函数无穷乘积.jpg

正弦函数无穷乘积.jpg

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1楼2016-05-06 18:00:56

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 金币+5 2016-05-30 08:33:52

由 Wallis 无限乘积 $\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2}$ （也可以由 Out[34]中 $x=\frac{1}{2}$ 一眼看出）

得出
$\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x}{4k^2-1})\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{4k^2}=\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{\frac{1+x}{4}}{k^2})$ , 再次利用 Out[34], 于是
$\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x}{4k^2-1})=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{\sin{\frac{\pi}{2}\sqrt{1+x}}}{\pi\cdot \frac{\sqrt{1+x}}{2}}$

我得到的是 $\frac{\sin{\frac{\pi\sqrt{1+x}}{2}}}{\sqrt{1+x}}$ , 和楼主 @i维数的Out[28] 不相同