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木虫 (正式写手)

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[求助] 涉及伽马函数的级数极限

如图，Gamma是伽马函数，a>0,a正向趋于0。谢谢各位！

涉及伽马函数的级数极限.png

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1楼 2016-04-04 14:54:52

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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偷偷问一下, In[60]中那个级数在a=0+处渐近展开是不是等于(asymptotic expansion)

$\sqrt{2\pi}a^{-\frac{1}{4}}(1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a^k}{k!}\prod_{m=1}^k ((2k-1)^2-\frac{1}{4}))$ ?

我只知道第一项和第二项与你计算的极限值恰好吻合, 由"一生二,二生三,三生万物" , 后面的项应该也是对的. 展开式来自 http://dlmf.nist.gov/10.2 (加上一些变形)

你可以帮忙算一下第三项是否是:
$\frac{105\sqrt{\pi}}{16\sqrt{2}}a^{\frac{7}{4}}$ ??

谢谢

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We_must_know. We_will_know.

2楼2016-06-09 05:47:42

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hank612

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引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2016-06-09 05:47:42
偷偷问一下, In中那个级数在a=0+处渐近展开是不是等于(asymptotic expansion)

\sqrt{2\pi}a^{-\frac{1}{4}}(1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a^k}{k!}\prod_{m=1}^k ((2k-1)^2-\frac{1}{4}))?

我只知道第一项和第 ...

更正一下错误:

In[60]中那个级数在a=0+处渐近展开是不是等于

$\sqrt{2\pi}+\sqrt{2\pi}\cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k!}\prod_{m=1}^k ((2m-1)^2-\frac{1}{4}) ?$