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若 $(1+\frac{1}{n})^{n+\alpha }>\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ 对任意正整数 $n$ 均成立，试证明 $\alpha$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ .由此猜想 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}}\ln\left(\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-n\right)=\frac{1}{2}$ , $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}}\ln\left(\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-n\right)=\frac{1}{2}$ ,试给出证明！谢谢！(第一次用Latex发帖，如有不足请指出

)

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1楼 2016-03-30 02:04:33

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Edstrayer

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$\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}}\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-n\right)$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n}{2n-1}\left(2n\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-2n+1\right)$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}n\left(\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-1\right)+\frac{1}{2}$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-1}{\frac{1}{n}}+\frac{1}{2}$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln\left(1+\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}}\right)}{-\frac{1}{n(n+1)}}+\frac{1}{2}$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}-n(n+1)\frac{1}{(n+1)!\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}}+\frac{1}{2}$

$=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2016-03-30 12:14:15

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Edstrayer

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极限运用多次Stoze公式可以证明

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2楼2016-03-30 11:48:33

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3楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-03-30 12:14:15
\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}}\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-n\right)

=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n}{2n-1}\left(2n\ln\left(\sum\limits_{k= ...

懂了，谢谢！

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4楼2016-03-30 12:50:52

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阿尔法最小为1／2是怎么证出来的

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我相信数学是来自神性的语言

5楼2016-03-30 13:20:46

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我来补充剩下的解答（见贴图）

恒成立问题.png

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6楼2016-03-30 13:29:06

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5楼: Originally posted by 恋恋有心zxcv at 2016-03-30 13:20:46
阿尔法最小为1／2是怎么证出来的

见6楼

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7楼2016-03-30 13:29:34

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hylpy

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

严重支持用Latex发帖，不知怎的，题目看不到啊

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凡事，一笑而过。。。。。。

8楼2016-03-30 13:42:05

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8楼: Originally posted by hylpy at 2016-03-30 13:42:05
严重支持用Latex发帖，不知怎的，题目看不到啊

你清一下缓存试试？

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

9楼2016-03-30 13:47:42

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8楼: Originally posted by hylpy at 2016-03-30 13:42:05
严重支持用Latex发帖，不知怎的，题目看不到啊

我之前也能看的，现在刷新一下好像也看不了了。。。

恒成立问题 .png

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10楼2016-03-30 13:49:13

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