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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 积分和极限的顺序
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li52

金虫 (小有名气)

[求助] 积分和极限的顺序 已有3人参与

对Fig.1里的红色式子，先求完积分，然后令参数theta取极限，以退化到一般形式，证明推导正确，得出来的结果是正无穷

然而按照Fig.2里的顺序，先求极限后求积分，得出一个确定的表达式

实际上Fig.2里的结果是符合真实情况的

请问这是什么原因？我怎样处理能得到Fig.2样式的结果？

积分和极限的顺序
Fig.1


积分和极限的顺序-1
Fig.2
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1楼 2016-03-28 21:51:26
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立迷特

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
li52: 金币+30, ★★★★★最佳答案, 谢谢你，推导详细！ 2016-04-05 10:05:25
积分结果是

通分并整理得


后面括号里的极限是， 利用得前面的极限是，

于是最后的结果就是
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10楼2016-03-30 11:15:29
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立迷特

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
li52: 金币+15, ★★★很有帮助, 谢谢你帮我找到错误！ 2016-04-05 10:04:10
Fig1的积分结果不对， 漏了积分下限0代进去的结果。。。
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2楼2016-03-28 22:33:53
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0404600213

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这两种计算方法本来就不一定相等
我举个栗子：

同样是(k+1)*sin(x)*[cos(x)]^k这个函数
算法一:先求在0到2PI的积分，再求k趋向负无穷的极限，结果是1
算法二：先求k趋向于负无穷的极限，再求0到2PI的积分，结果是0
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3楼2016-03-29 08:55:12
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li52

金虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by 0404600213 at 2016-03-29 08:55:12
这两种计算方法本来就不一定相等
我举个栗子：

同样是(k+1)*sin(x)*^k这个函数
算法一:先求在0到2PI的积分，再求k趋向负无穷的极限，结果是1
算法二：先求k趋向于负无穷的极限，再求0到2PI的积分，结果是0...

请问为什么这两种方法不一定相等？

是不是对红色式子的分析性质要求比较高？
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4楼2016-03-29 14:10:29
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