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li52

金虫 (小有名气)

[求助] 积分和极限的顺序 已有3人参与

对Fig.1里的红色式子,先求完积分,然后令参数theta取极限,以退化到一般形式,证明推导正确,得出来的结果是正无穷

然而按照Fig.2里的顺序,先求极限后求积分,得出一个确定的表达式

实际上Fig.2里的结果是符合真实情况的

请问这是什么原因?我怎样处理能得到Fig.2样式的结果?

积分和极限的顺序
Fig.1


积分和极限的顺序-1
Fig.2
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li52

金虫 (小有名气)

引用回帖:
3楼: Originally posted by 0404600213 at 2016-03-29 08:55:12
这两种计算方法本来就不一定相等
我举个栗子:

同样是(k+1)*sin(x)*^k这个函数
算法一:先求在0到2PI的积分,再求k趋向负无穷的极限,结果是1
算法二:先求k趋向于负无穷的极限,再求0到2PI的积分,结果是0...

请问为什么这两种方法不一定相等?

是不是对红色式子的分析性质要求比较高?
4楼2016-03-29 14:10:29
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普通回帖

立迷特

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
li52: 金币+15, ★★★很有帮助, 谢谢你帮我找到错误! 2016-04-05 10:04:10
Fig1的积分结果不对, 漏了积分下限0代进去的结果。。。
2楼2016-03-28 22:33:53
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0404600213

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
这两种计算方法本来就不一定相等
我举个栗子:

同样是(k+1)*sin(x)*[cos(x)]^k这个函数
算法一:先求在0到2PI的积分,再求k趋向负无穷的极限,结果是1
算法二:先求k趋向于负无穷的极限,再求0到2PI的积分,结果是0
3楼2016-03-29 08:55:12
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li52

金虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by 立迷特 at 2016-03-28 22:33:53
Fig1的积分结果不对, 漏了积分下限0代进去的结果。。。

对,是落下了,我再算一算
5楼2016-03-29 14:11:04
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0404600213

金虫 (正式写手)

引用回帖:
4楼: Originally posted by li52 at 2016-03-29 14:10:29
请问为什么这两种方法不一定相等?

是不是对红色式子的分析性质要求比较高?...

目测是涉及到一致收敛
6楼2016-03-29 16:35:38
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立迷特

木虫 (小有名气)

引用回帖:
5楼: Originally posted by li52 at 2016-03-29 14:11:04
对,是落下了,我再算一算...

极限通过积分号需要一些条件才能保证。不过你直接积出来再求极限总是对的(前提是积分正确)。 这道题中,你把下限代进去, 两种算法的结果是一样的,就是Fig2的结果。
7楼2016-03-29 18:02:43
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woshiqiujun

新虫 (正式写手)

最好的要求是一致收敛 稍次一点的需要找个函数控制

发自小木虫Android客户端
8楼2016-03-29 18:13:52
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hui470

新虫 (小有名气)

积分和极限能交换位置要求被积函数一致收敛。

发自小木虫Android客户端
9楼2016-03-30 10:16:06
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立迷特

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
li52: 金币+30, ★★★★★最佳答案, 谢谢你,推导详细! 2016-04-05 10:05:25
积分结果是

通分并整理得


后面括号里的极限是, 利用得前面的极限是

于是最后的结果就是
10楼2016-03-30 11:15:29
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