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liukaijack

银虫 (小有名气)

[交流] 空间任意椭球被一平面切割,其截面,一定是椭圆,圆或者点吗?【附个人解答】

对于空间任意一个椭球,任意平面切割形成的截面,一定是个椭圆,圆或者点吗?

我的解答如下:

假设椭球的空间方程为:E(x,y,z)=Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0;此方程每一项的次数为:2次,1次或者0次(常数),最高次为2次;
假设任意平面方程为:P(x,y,z)=Kx+Ly+Mz+N=0;

则平面相交于椭球的交线方程为:
L(x,y,z)=E(x,y,z)-P(x,y,z); 根据椭球空间方程每一项的阶数为:2次,1次或者0次(常数),最高次为2次这一个条件,将交线方程L(x,y,z)化为二次型的标准型:L1(x1,y1,z1)=k1*x1^2+k2*y1^2+k3*z1^2+P=0这种形式(此方程要能画出图形,必须使得P为负数)。

根据所得到的交线方程L1(x,y,z)为二次型方程,就可以判断出其为椭圆(k1, k2, k3两两均不相等),圆(k1, k2, k3两两均相等)。

但是,有个疑问,根据转化后的二次型的标准型方程L1(x1,y1,z1)=k1*x1^2+k2*y1^2+k3*z1^2+P=0来看,这个图形在空间中应该为一个椭球或者球,而不是椭圆或者圆,这个该怎么解释呢?

谢谢。

[ Last edited by liukaijack on 2016-3-27 at 09:35 ]
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็

★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
liukaijack: 金币+5 2016-03-29 03:47:22
用二次型在射影几何中的几何意义

射影几何意义下二次型的坐标变换

椭球面在不同方向的伸缩坐标变换下总能变成一个球面的二次型(对应于对角阵)
同样的坐标变换下,平面仍然是平面。平面跟球面的相交只有圆或点或无的可能;

把圆或点经过反向坐标变换得到的新的形状,可能性有限。

在不改变特定的不改变无穷远点属性的坐标变换下,圆不可能变成抛物线、双曲线。所以,还是圆或椭圆。
ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
11楼2016-03-27 10:02:14
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