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liukaijack

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[交流] 空间任意椭球被一平面切割，其截面，一定是椭圆，圆或者点吗？【附个人解答】

对于空间任意一个椭球，任意平面切割形成的截面，一定是个椭圆，圆或者点吗？

我的解答如下：

假设椭球的空间方程为：E(x,y,z)=Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0;此方程每一项的次数为：2次，1次或者0次（常数），最高次为2次；
假设任意平面方程为：P(x,y,z)=Kx+Ly+Mz+N=0;

则平面相交于椭球的交线方程为：
L(x,y,z)=E(x,y,z)-P(x,y,z); 根据椭球空间方程每一项的阶数为：2次，1次或者0次（常数），最高次为2次这一个条件，将交线方程L(x,y,z)化为二次型的标准型：L1(x1,y1,z1)=k1*x1^2+k2*y1^2+k3*z1^2+P=0这种形式（此方程要能画出图形，必须使得P为负数）。

根据所得到的交线方程L1(x,y,z)为二次型方程，就可以判断出其为椭圆（k1, k2, k3两两均不相等），圆（k1, k2, k3两两均相等）。

但是，有个疑问，根据转化后的二次型的标准型方程L1(x1,y1,z1)=k1*x1^2+k2*y1^2+k3*z1^2+P=0来看，这个图形在空间中应该为一个椭球或者球，而不是椭圆或者圆，这个该怎么解释呢？

谢谢。

[ Last edited by liukaijack on 2016-3-27 at 09:35 ]

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