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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助一个与数论函数有关的极限的证明
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tlfhmy

新虫 (初入文坛)

[求助] 求助一个与数论函数有关的极限的证明 已有1人参与

前不久在思考一个分子分母限定在某整数范围内的有理数的个数问题时，推导出一个极限，通过软件模拟可以发现它趋近于某个值，但是我无法完成其收敛性的证明。希望有高手能给我指点迷津。
序列通项为：

求助一个与数论函数有关的极限的证明
CodeCogsEqn.png
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1楼 2016-03-11 11:38:54
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
试试用公式估计的和的上下界，看看这一思路是否有效？
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2016-03-12 04:58:55
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tlfhmy

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-03-12 04:58:55
试试用公式\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n估计\sum\limits_{k=2}^n\varphi(k)的和的上下界，看看这一思路是否有效？

嗯，感谢提醒，我去试试。

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3楼2016-03-13 08:46:01
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tlfhmy

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-03-12 04:58:55
试试用公式\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n估计\sum\limits_{k=2}^n\varphi(k)的和的上下界，看看这一思路是否有效？

这个我感觉行不通，可能还是需要另外的方法。
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4楼2016-03-13 11:15:40
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18219867845

新虫 (小有名气)
看书

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5楼2016-03-13 11:19:02
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大眼睛男孩
好

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6楼2016-03-13 11:26:44
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张zxf

新虫 (初入文坛)
应该是3／pi^2，这个在华罗庚先生的文集数论第二卷115有证明。你可以看看你的极限跟这个数是不是接近，具体证明还请参阅华先生书籍。

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7楼2016-03-15 15:24:32
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张zxf

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
tlfhmy: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 完全能够解决我的问题。 2016-03-23 16:21:33
这个定理3是不是就是你想研究的内容？
求助一个与数论函数有关的极限的证明-1



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8楼2016-03-15 16:45:32
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tlfhmy

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
8楼: Originally posted by 张zxf at 2016-03-15 16:45:32
这个定理3是不是就是你想研究的内容？

非常 感谢，这个完全能够解决我的问题。找了这么久终于能解决了。
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9楼2016-03-23 16:20:11
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