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两个关于势能与时间的问题已有1人参与
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1：质量不同势能相同的质点沿着相同的轨道运动，他们的运动时间满足什么关系？ 2：质点有相同的质量但是势能相差一个常数因子，他们沿相同轨道运动时运动时间满足什么关系？ |
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3楼2013-08-29 10:16:29
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6楼2013-09-06 09:06:55
【答案】应助回帖
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该题为了朗道力学里第11节力学相似性后面的习题。书本只给出答案，省略了过程，多少读者为之疑惑。自回帖时间，在其它地方并无查找到具体的解答。也因寻解题过程而来，然而似乎很少有探讨朗道的课后习题，关于朗道的著作某些地方给读者的困惑也很少有人给出具体的分析。 经典的著作给出的问题一定可以由该问题前面的知识给出回答。经过仔细推敲，本人对此二题作出如下解答，以解读者疑惑，重拾经典之美： 质点轨道即其运动的轨迹，及其运动对应的一系列几何位置(解答一些人对轨道概念的疑惑)，其由质点的运动学方程(质点位矢对时间的函数——矢量函数r(t))所决定。我们已经知道，牛顿力学的一切规律可由拉格朗日方程，即力学系统的运动微分方程求得。这就是说，给定了系统的拉格朗日函数，就给定了系统的运动微分方程，从而给出了系统的轨迹，唯一不确定的只是多了2s个任意常数(s为系统自由度)。如果质点的运动轨道已知，那么这种不确定性就大大减小了。若质点的速度也确定了，那么运动方程就能完全确定下来。 题目要求解轨道相同的运动时间之比，即轨道上相同的一部分轨道质点所用时间之比，即求 t'/t＝(l/v')/(l/v)＝v/v' 这说明不知道具体的速度只要知道具体的速度之比也可以求出时间之比，所以问题并无不确定性。轨道相同意味着质点的运动微分方程相同。因为已经知道拉格朗日函数可以定义到相差一关于时间和坐标的函数f(r，t)对时间的全导数，并且拉格朗日函数乘以一个常数并不改变运动微分方程，所以轨道相同的质点的拉格朗日函数有形如L'＝aL+df(r，t)/dt的关系，其中a为常数。 因为L＝T(v)-U(r)， 所以有形如T-U＝a(T'-U')+df(r，t)/dt的关系。 可定义质点'的拉格朗日函数为 L'＝T'-U'-(df(r，t)/dt)/a， 则T-U＝a(T'-U')＝a( T(T'/T)-U(U'/U) ) 要使得上式成立，必须(T'/T)＝(U'/U)＝1/a (1)质量不同势能相同： T'/T＝U'/U＝1?(m'(v'方))/(m(v方))＝1 ?v/v'＝根号(m'/m)＝t'/t (2)质量相同势能相差一个常数因子： T'/T＝U'/U?(m(v'方))/(m(v方))＝U'/U ?v/v'＝根号(U/U')＝t'/t 发自小木虫Android客户端 |
7楼2020-06-29 11:04:55
8楼2020-06-29 11:06:50
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9楼2020-06-30 04:55:48
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