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【调剂】北京石油化工学院2024年16个专业接受调剂
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libralibra

至尊木虫 (著名写手)

骠骑将军

[交流] Euler Project Q12 欧拉工程第十二题已有9人参与

Question 12:
The sequence of triangle numbers is generated by adding the natural numbers. So the 7th triangle number would be 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. The first ten terms would be:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Let us list the factors of the first seven triangle numbers:

     1: 1
     3: 1,3
     6: 1,2,3,6
    10: 1,2,5,10
    15: 1,3,5,15
    21: 1,3,7,21
    28: 1,2,4,7,14,28

We can see that 28 is the first triangle number to have over five divisors.

What is the value of the first triangle number to have over five hundred divisors?

翻译:

自然数求和可生成三角数列.第七个三角数是1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.前10个三角数列元素是:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

下面列出前7个三角数及其整除数:
     1: 1
     3: 1,3
     6: 1,2,3,6
    10: 1,2,5,10
    15: 1,3,5,15
    21: 1,3,7,21
    28: 1,2,4,7,14,28
可以看出,28是第一个有超过5个整除数的三角数.

那么,第一个有超过500个整除数的三角数是多少?

[ Last edited by libralibra on 2011-5-17 at 05:41 ]
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1楼2011-05-17 05:30:00
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libralibra

至尊木虫 (著名写手)

骠骑将军
★ ★ ★
ben_ladeng(金币+3, 程序强帖+1): 欢迎继续 2011-05-17 06:43:27
对此题我相当无语,难度在20题以内,我也不知道具体程序跑了多久,反正我吃了个泡面回来,打印出结果了,应该超过10分钟了

c的,matlab对此表示鸭梨很大
CODE:
#include
#include

int main(int args, char* argv[])
{
        long result=1,trinum=0,curnum=1;
        int n=0,i=0,big=0;
        int stop = 500;                //停止要求的除数个数,改成5可以测试28
        while(n         {
                n = 0;
                trinum = 0;
                // 计算当前三角数
                for(i=1;i<=curnum;i++)
                        trinum += i;

                // 从1开始除,计算除数个数
                for(i=1;i<=trinum;i++)
                {
                        if(trinum%i==0) // 如果整除,n+1
                                n += 1;
                }
               
                if(n>=stop) //如果超过stop个,保存结果跳出循环,这里是500个
                {
                        result = trinum;
                        break;
                }

                //如果没超过stop个,记录当前最大的个数并输出
                //这个if可以不要,因为我运行以为电脑死机了
                //所以加了这个判断,找到更接近stop的除数个数时输出,让我有点盼头
                if(n>big)  
                {
                        big = n;
                        printf("Current number: %i [%d]\n",trinum,big);
                }

                //自加自然数增加1,trinum = sum(1:curnum)
                curnum++;
        }
       
        // 打印结果
        printf("%i\n",result);
       
        system("PAUSE");
        return 0;
        }

结果
CODE:
% ans =
%       76576500

[ Last edited by libralibra on 2011-5-17 at 18:14 ]
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2楼2011-05-17 05:38:26
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huycwork

金虫 (著名写手)
引用回帖:
Originally posted by libralibra at 2011-05-17 05:38:26:
对此题我相当无语,难度在20题以内,我也不知道具体程序跑了多久,反正我吃了个泡面回来,打印出结果了,应该超过10分钟了

c的,matlab对此表示鸭梨很大

[code] #include <stdio.h>
#include <stdlib.h ...

你又遍历！
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漩涡的中心有一块空地，空空的。
3楼2011-05-17 11:10:45
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sudo

木虫 (正式写手)
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余泽成(金币+3, 程序强帖+1): 谢谢参与交流！ 2011-05-17 22:10:21
抛砖引玉一个思路：
CODE:
1. 建立素数表prime[N]，N取一个比较大的值
2. 对x=(1+i)*i/2进行质因数分解：
    x=k_1^m_1 * k_2^m_2 ... * k_n^m_n
    其中^表示指数，k_1 ... k_n表示素数
3. 计算x因子总数：
    divisors = (m_1 + 1) * (m_2 + 1) * ... * (m_n + 1)
4. 判断divisors是否超过500，如果没有，跳到第2步，尝试下一个x；如果已经超过500，则输出x

有素数表之后，这个算法应该比较快，因为质因数分解的时候，只要从小到大判断对素数的整除性，然后顺便统计质因数的指数，同时如果能整除，试除用的x可以缩小为
CODE:
x/=prime[i]

再继续作测试，这样，算法很快就收敛了

问题在于事先对prime[N]中的N的估计怎样才合理，恩...

[ Last edited by sudo on 2011-5-17 at 12:56 ]
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4楼2011-05-17 12:54:30
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huycwork

金虫 (著名写手)
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余泽成(金币+3, 程序强帖+1): 好详细的分析！ 2011-05-17 22:24:53
想到一个依赖组合计数的算法：
首先分析特殊情况，对于一个a1*a2*a3*a4*...*an=A酱紫的数，假定a1 如，2*3*5*7=210的因数数有：
2, 3, 5, 7
6, 10, 14,15, 21,35
30, 70,105,42
210
麻烦的问题是不完全是素数的情况，对于任意C=A*B，令A和B为素数积，当且仅当AB没有交集的时候C才是素数积，否则就带来可可怕的乘方，乘方会产生很多相同的因数。为了解决这个问题，需要分析素数的乘方能产生多少个相同解：
首先分析下素数乘方可能产生的相同解个数，假定某数可以分解出n个相同的素数因子：a1,a2,...an，这些因子的恼人之处就在于，不同的乘数可能产生相同的乘积，原本这些乘积是独立计数的，最终却需要剔除。一个简单的解决办法是，将n个数叠起来，使它们像这样：a1, a1^2, a1^3...a1^n，对这样的数列再次应用素数组合，但分析的时候要独立分析：这些数中只取一个的时候，产生独立解，其余的情况，都不能再计数，理由是，数列中的任意数的组合要么相同，要么不可能产生。因此，对于n个素数相同的情形，只能将其算一个素数的组合位置，但是要记入n种状况。最终的组合要借助计算机来完成，举例如下：
8*6 = 2*2*2*2*3，分离素数乘方表和素数表，得
乘方表：2,4,8,16，素数表2,3
在2的位置需要替换4种情况，当C21时，2本来只计数1，现在需要计数4，C22时2*3本来只有一个解，现在有4个解。对于2和3而言，原本的解像这样：
2, 3, 2*3
现在的解要将4个值替换到2的位置：
2,4,8,16,3,2*3,4*3,8*3,16*3
在更多情况下和这个类似，如果是24*6 = 2*2*2*3*2*3，分离出来的素数表仅有2,3，乘方表则有两个：2,4,8,16和3,9
原来的解是2,3,2*3，分两遍替换进去就成了这样：
替换2变成：2,4,8,16,3,2*3,4*3,8*3,16*3
再替换掉3变成：2,4,8,16,3,9,2*3,2*9,4*3,4*9,8*3,8*9,16*3,16*9
可以看到，由于无法知道哪个数是需要替换的，所以也无法直接构建公式，光组合算法还不成，得在组合算法之上再递归计数。
生成因数表和递归计数都不是啥问题，问题是组合算法，排列组合的算法的复杂度很高啊…
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5楼2011-05-17 13:41:19
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huycwork

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余泽成(金币+2): 鼓励交流！ 2011-05-17 22:26:43
引用回帖:
Originally posted by sudo at 2011-05-17 12:54:30:
抛砖引玉一个思路：

[code]
1. 建立素数表prime[N]，N取一个比较大的值
2. 对x=(1+i)*i/2进行质因数分解：
    x=k_1^m_1 * k_2^m_2 ... * k_n^m_n
    其中^表示指数，k_1 ... k_n表示素数
3. 计算x因子 ...

素数表倒是不需要估计，俺给出的这个素数算法可以动态定制素数表，在参数里面传递函数指针进去就可以随意处理每个素数。不过这个算法有点小bug，会漏掉一个数的测试，修改offset为3的倍数，BUFSZ修改为6的倍数即可解决这个问题。http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=3192387&fpage=2#pid1151737

[ Last edited by huycwork on 2011-5-17 at 14:31 ]
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6楼2011-05-17 13:54:55
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sudo

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引用回帖:
Originally posted by huycwork at 2011-05-17 13:54:55:
素数表倒是不需要估计，俺给出的这个素数算法可以动态定制素数表，在参数里面传递函数指针进去就可以随意处理每个素数。不过这个算法有点小bug，会漏掉一个数的测试，修改offset为3的倍数，BUFSZ修改为6的倍数 ...

嗯，有空我拜读一下~

话说你5楼的算法复杂化了...

像4楼的算法就直接应用排列组合里面的乘法定理就出来了，不需要那么麻烦的

先以你举的210=2*3*5*7为例：

因数一共有16个：
1,
2, 3, 5, 7
6, 10, 14,15, 21,35
30, 70,105,42
210

从质因数的指数上很容易看出来，质因数2可以取0个或1个（2种取法），质因数3可以取0个或1个（2种取法），同理质因数5和7分别都可以有两种取法，故因数总数为：

2*2*2*2=16个

这就很好算出来

再举144 = 2^4 * 3^2为例

质因数2可以有5种取法，质因数3一共有3种取法，所以因数总数为
5*3=15个


这么做是没有重复的，因为因数本身也是质因的组合......这个方法比较直观......

[ Last edited by sudo on 2011-5-17 at 14:23 ]
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7楼2011-05-17 14:18:50
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libralibra

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引用回帖:
Originally posted by huycwork at 2011-05-17 11:10:45:
你又遍历！

我解题一向粗暴简单,哈哈.
不过老兄你的分析的确很好.我抽空修改下代码
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8楼2011-05-17 14:32:38
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huycwork

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引用回帖:
Originally posted by sudo at 2011-05-17 14:18:50:
嗯，有空我拜读一下~

话说你5楼的算法复杂化了...

像4楼的算法就直接应用排列组合里面的乘法定理就出来了，不需要那么麻烦的

先以你举的210=2*3*5*7为例：

因数一共有16个：
1,[ ...

不错不错，还得打基础呃~~~~
这样一来，复杂度就主要看如何分离因数表了。
结果又回到了素数算法呃……
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9楼2011-05-17 14:40:11
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libralibra

至尊木虫 (著名写手)

骠骑将军
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余泽成(金币+2): 鼓励交流！ 2011-05-17 22:29:49
sudo兄7楼的算法再解释下?
>> factor(75676500)
ans =
     2     2     3     3     5     5     5    67   251

照此,75676500 = 2^2*3^2*5^3*67^1*251^1
它的因子个数是 3*3*4*2*2 = 144,也不是500多啊
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10楼2011-05-17 15:55:18
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