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fo3mt2

金虫 (小有名气)

[求助] 复数矩阵的-1/2次方计算已有1人参与

大家好,

我想向大家请教一个问题。

A是一个n乘n的复数矩阵,如何计算A的负二分之一次方(-1/2)呢?

我看到网上有这样的计算流程。
1.对角化复数矩阵A,得到矩阵A的特征值
2.计算每个特征值的-1/2次方
3.用特征值的-1/2次方组成对角矩阵(非对角线上的元素全是零,对角线上的元素是每个特征值的-1/2次方),这个对角矩阵就是复数矩阵A的负二分之一次方(-1/2)

请问这种计算方法是否正确呢?

如果不对,麻烦大家给些建议,要如何正确计算一个复数矩阵A的-1/2次方吧。

谢谢啦。
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lq8989

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
这个方法思路是对的,结果不完全对。我猜测楼主是想计算一个矩阵B满足 (B B) = A^-1。如果A可逆且可对角化,也就是 A = P^{-1} D P(特征分解),其中D为一对角矩阵,对角元为A的特征值且非零,则可以构造B = P^{-1} d P,其中d的对角元是D的对角元的平方根的倒数。由于楼主的矩阵A是在复数域定义的,d的每个对角元都有一到两个可取值,因此可以构造出最多2^n个B。
2楼2022-08-15 09:29:40
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fo3mt2

金虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by lq8989 at 2022-08-15 09:29:40
这个方法思路是对的,结果不完全对。我猜测楼主是想计算一个矩阵B满足 (B B) = A^-1。如果A可逆且可对角化,也就是 A = P^{-1} D P(特征分解),其中D为一对角矩阵,对角元为A的特征值且非零,则可以构造B = P^{-1 ...

谢谢你的回复。

我想计算的是一个矩阵B,满足B=A^(-1/2)。若A可逆且可对角化,并且若d的每个对角元也只有一个值的话,你在回复里提到的B=P^{-1}dP,是否就是我想要计算的这个矩阵B呢?

谢谢。
3楼2022-08-15 17:07:48
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lq8989

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

具体要看你如何定义B=A^(-1/2)。就像正实数有正负两个实数平方根一样,满足B^2 = A^(-1)的B矩阵可以多达2^n个。如果不在意特征值的取值,那用这个方法构造出的任意一个都满足B^2 = A^(-1)。如果对特征值有要求,比如假设A是半正定的(也就是特征值全部非负),你也可以要求B半正定,也就是d的对角元全部取D的算术平方根(非负平方根);如果A是非正定的(也就是特征值有负数或复数),你也可以选择d的对角元全部取D的复平方根主值。
4楼2022-08-16 15:01:58
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flankway

新虫 (初入文坛)

只能是半正定矩阵才可以开平方。你这个问题,我们分解一下,先开平方,然后求逆。如果能开平方,还能求逆,那么这个矩阵一定是正定矩阵。正定矩阵可以对角化,即可以存在酉矩阵,在有等价意义下变成一个对角矩阵,其中特征值都大于零,可以开平方。然后你把那个酉矩阵带上,就是原矩阵的平方根。平方根求完了,你再求它的逆矩阵。

总的来说,正定矩阵就像是正数,半正定矩阵就是大于等于零的数,他们和数的性质有点像。负数是不能开平方的,同样的,特征值有负的,也不能开平法。
加油!
5楼2022-09-08 23:42:00
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