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木槿如初

新虫 (小有名气)

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如图,我感觉第一问有问题,如果取A和B都为单位矩阵,这个结论不成立呀

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yfg0525

新虫 (初入文坛)

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小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
Edstrayer: 金币+10, thank 2020-02-05 08:40:08
我也觉得第一问你的观察是正确的。但有趣的是考虑 |a+d|是否大于2 与A和A^-1 是否共轭的关系。
我考虑A的特征多项式, 简单计算可知是 x^2-(a+d)x+1. 它有实根的条件是 (a+d)^2 \geq 4,等价 于 |a+d| \geq 2.
现在答案就差不多了,如果|a+d| > 2,有两个实数根,推出A,A^-1 都与 特征根的 对角矩阵共轭(这里需要简单验证a,a^-1具有相同的特征多项式),于是他们也共轭. 如果|a+d| < 2,没有实数根, 不可对角化,那是否不共轭?(我不清楚)
如果=2,是怎么样的呢,如果A=单位矩阵,你给了个共轭的例子,但是如果A=[[1,1],[0,1]],此时不可对角化,那是否不共轭?
2楼2020-02-04 20:39:35
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