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放牛班毕业

铁虫 (初入文坛)

[交流] 有关吉布斯现象：当n趋于无穷大时，高出来的那9%哪去了？已有1人参与

哪位数学圈的给提示一下。


看工科信号书，从来没有一本书能说清楚吉布斯现象的。

得出的大致结论是，无限和没有吉布斯现象，各点包括间断点都能收敛，有限和哪怕少了一项，吉布斯过冲就立马显现。

某些偏数学的书和论文对吉布斯现象作了推导（例如潘文杰的教材），但最终结论不完全懂。据这些数学类文献上的讲法，有限项和会包含许多振荡峰，远离间断点振荡峰逐渐减弱，最接近间断点的那个振荡峰，随着项数不断增加，该振荡峰向间断点不断向间断点移动，同时峰宽越来越窄。该振荡峰外侧（远离间断点那一侧）各点起伏逐渐消失，属于一致收敛区，而最接近间断点的振荡峰，尽管项数不断增加，其峰值却不减小，大体保持在界差值的9%上。当项数n趋于无限多时，振荡峰值仍不减少。

这就让人疑惑了，既然无限和下各点都能收敛到方波上，那又何来n趋于无限多时，峰值不变呢？

有关吉布斯现象：当n趋于无穷大时，高出来的那9%哪去了？
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1楼2018-06-19 19:41:48
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wurongjun

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3楼: Originally posted by 放牛班毕业 at 2018-06-19 23:06:06
您说的没错，波动不因项数增大而消失。那么增大到无限项的时候，就该消失了吧，怎么消失的？从数学公式上看不出消失啊，从无限项和的公式上看，n趋近于无穷大的时候，仍然有0.09的峰存在，而这时该峰趋近于间 ...

这个波动不会消失!
可以证明间断点处波动趋于: 0.09*[f(x0+)-f(x0-)]
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
4楼2018-06-19 23:35:34
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wurongjun

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Gibbs现象是指: 用有限项Fourier级数表达间断信号时,在间断点处会出现波动,并且这种波动不因求和的项数的增大而彻底消失.

间断点x0出的波动大约为: 0.09*[f(x0+)-f(x0-)]
连续的处是收敛的!
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2楼2018-06-19 20:56:36
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放牛班毕业

铁虫 (初入文坛)
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2楼: Originally posted by wurongjun at 2018-06-19 20:56:36
Gibbs现象是指: 用有限项Fourier级数表达间断信号时,在间断点处会出现波动,并且这种波动不因求和的项数的增大而彻底消失.

间断点x0出的波动大约为: 0.09*
连续的处是收敛的!

您说的没错，波动不因项数增大而消失。那么增大到无限项的时候，就该消失了吧，怎么消失的？从数学公式上看不出消失啊，从无限项和的公式上看，n趋近于无穷大的时候，仍然有0.09的峰存在，而这时该峰趋近于间断点了。这是怎么回事？
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3楼2018-06-19 23:06:06
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放牛班毕业

铁虫 (初入文坛)
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4楼: Originally posted by wurongjun at 2018-06-19 23:35:34
这个波动不会消失!
可以证明间断点处波动趋于: 0.09*...

嗯。我有点明白了。应该是n----无限大时，即无限项时波峰不消失，只是变成一根竖直线了。

但对此还有个问题需要请教您：

  看数学书上的观点（潘文杰书），对于阶跃函数，横轴上x=0是间断点处，而那个不消失的峰点出现在x=π/(2n)，当n→∞时，x→0，即无限项数时，横坐标趋于0 ，按极限定义，这个峰点并不是间断点，而是无限趋近于间断点。不严格地讲，是紧挨着间断点0的那个x上的值才是波峰。可是，按狄利克雷定理，除了间断点之外的其他点都收敛于f（x），这就出现歧义了，不知道我说清楚没有？
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5楼2018-06-20 17:28:42
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wurongjun

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x=0是间断点，你说的其实就是趋于x=0这个点。

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6楼2018-06-20 18:35:02
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放牛班毕业

铁虫 (初入文坛)
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6楼: Originally posted by wurongjun at 2018-06-20 18:35:02
x=0是间断点，你说的其实就是趋于x=0这个点。

没错啊，我就是这里绕不过弯。

按照微积分极限的定义，趋于是无限任意靠近的意思啊

趋于这个点和等于这个点不一样啊
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7楼2018-06-20 23:30:35
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wurongjun

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因为这个点不连续，所以不一样。

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8楼2018-06-21 08:03:34
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放牛班毕业

铁虫 (初入文坛)
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8楼: Originally posted by wurongjun at 2018-06-21 08:03:34
因为这个点不连续，所以不一样。

我上面那个回帖说的不太清楚。

我的疑问是：当项数n趋于无穷时，是在x=0这一点保持峰值，还是在x趋于0的点上保持峰值？
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9楼2018-06-21 09:31:25
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wurongjun

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9楼: Originally posted by 放牛班毕业 at 2018-06-21 09:31:25
我上面那个回帖说的不太清楚。

我的疑问是：当项数n趋于无穷时，是在x=0这一点保持峰值，还是在x趋于0的点上保持峰值？...

连续的点上都保持!
不连续的点吉布斯!
真不明白,你到底哪里不懂!
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10楼2018-06-21 10:38:46
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