关于微分几何中曲面主曲率以及主方向的问题
大家好，最近涉及到计算曲面主曲率及主方向的问题（曲面的方程为z=f（x,y）形式），因为不太懂微分几何的问题，所以感觉不是很有头绪。通过matalb函数（surfature函数）以及网上资料（附件图），可以求出主曲率和主方向。
但是对于得到的结果还有几个问题我不是很清楚：
1. 主曲率的两个值是再怎么和主方向相对应的，就是说怎么确定哪一个方向对应的是最大曲率，哪一个方向对应的是最小曲率。
2. 通过给出的主方向计算公式，可以求出两个主方向，其计算结果是两个数值。因为两个方向的乘积是负一，所以我理解它可能代表的是斜率，但是这个斜率是在哪个坐标系下的斜率呢？是法平面的坐标系还是曲面的坐标系。
（1）如果是法平面的坐标系的话，法平面的x轴y轴方向是怎么规定的？是把曲面坐标系的z轴旋转到和法向量平行时对应的xy轴方向吗？（个人认为是这一种）
（2）如果是曲面的坐标系的话这个斜率如何对应到法平面上并保持垂直关系呢？
希望大家能给出宝贵意见，如果本人的描述有不专业不清楚的地方希望大家指正
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希望大神们能帮忙答疑解惑
顶一下
回顾下几个概念也许有助于理解：
曲面某点的切空间 --- 法线----过法线的平面（很多）截曲面得到的曲线对应的曲律称为法曲律
两个主曲率分别对应法曲律的最大和最小值，同时分别对应两个切方向
特定曲线在某处的曲律跟坐标系选择没有关系（内蕴几何就是研究跟坐标变换无关的本质性质）
主要我不理解的地方还是在于根据计算公式得到的主方向和主曲率是如何对应的以及根据公式求出的主方向只是一个值不是向量，这个值代表什么，怎么知道他的具体方向（比如用向量的形式表示出来）
，
这个地方我也不太清楚
曲面S:r=r(u,v)
切方向du:dv实际上表示的是r_udu+r_vdv
即du:dv是在uOv平面上的向量，对应的切方向是在曲面的切平面上以r_u,r_v为基，以（du,dv）为坐标的向量。