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求助一个行列式等式的证明方法

作者 ayismas
来源: 小木虫 2000 40 举报帖子
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假设[latex]X[/latex]是一个矩阵,且[latex]X'X=I[/latex], 这里[latex]I[/latex]为单位矩阵。[latex]A[/latex]为正定矩阵,[latex]B=XX'A-AXX'[/latex].证明:
[latex]|X'AX||X'A^{-1}X|=|A+B|/|A|[/latex]
求赐教!

求助一个行列式等式的证明方法
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  • 精华评论
  • xylslyx

    X'是转置吗?

  • ayismas

    引用回帖:
    2楼: Originally posted by xylslyx at 2017-07-21 15:45:01
    X'是转置吗?

    是的,X'是X的转置,所有的矩阵都是实数范围内取值。

  • xylslyx

    引用回帖:
    3楼: Originally posted by ayismas at 2017-07-21 15:56:58
    是的,X'是X的转置,所有的矩阵都是实数范围内取值。...

    [latex]{X}'X=I\Rightarrow{ \left ( {X}'X \right )}'=X {X}'=I\Rightarrow B=A-A=0?[/latex]
    我搞错了吗?

  • ayismas

    引用回帖:
    4楼: Originally posted by xylslyx at 2017-07-21 17:03:42
    {X}'X=I\Rightarrow{ \left ( {X}'X \right )}'=X {X}'=I\Rightarrow B=A-A=0?
    我搞错了吗?...

    这里面[latex]X[/latex]可能不是方阵,所以不能由[latex]X'X=I[/latex]推导出[latex]XX'=I[/latex]

  • ayismas

    没有人回答,帖子都沉下去了。

  • 赵_山河

    把X做svd,可以设X是[I,0]',把A分块,A=[M,N;P,Q],其中M和I同阶。A+B=[M,2N;0,Q],X'AX=P,X'A^-1X=(M-NQ^-1P)^-1,待证式化为
    |M||Q|/|A|=|M|*|(M-NQ^-1P)^-1|,约去|M|,再乘|A^-1|,由Schur补性质立得。

  • wurongjun

    按你给的条件可得:
                     X'BX=X'(XX'A-AXX')X=X'XX'AX-X'AXX'X=X'AX-X'AX=O
    所以B=O
    命题自然成立

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