求助一个行列式等式的证明方法
假设[latex]X[/latex]是一个矩阵,且[latex]X'X=I[/latex], 这里[latex]I[/latex]为单位矩阵。[latex]A[/latex]为正定矩阵,[latex]B=XX'A-AXX'[/latex].证明:
[latex]|X'AX||X'A^{-1}X|=|A+B|/|A|[/latex]
求赐教!
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假设[latex]X[/latex]是一个矩阵,且[latex]X'X=I[/latex], 这里[latex]I[/latex]为单位矩阵。[latex]A[/latex]为正定矩阵,[latex]B=XX'A-AXX'[/latex].证明:
[latex]|X'AX||X'A^{-1}X|=|A+B|/|A|[/latex]
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X'是转置吗?
是的,X'是X的转置,所有的矩阵都是实数范围内取值。
[latex]{X}'X=I\Rightarrow{ \left ( {X}'X \right )}'=X {X}'=I\Rightarrow B=A-A=0?[/latex]
我搞错了吗?
这里面[latex]X[/latex]可能不是方阵,所以不能由[latex]X'X=I[/latex]推导出[latex]XX'=I[/latex]
,
没有人回答,帖子都沉下去了。
把X做svd,可以设X是[I,0]',把A分块,A=[M,N;P,Q],其中M和I同阶。A+B=[M,2N;0,Q],X'AX=P,X'A^-1X=(M-NQ^-1P)^-1,待证式化为
|M||Q|/|A|=|M|*|(M-NQ^-1P)^-1|,约去|M|,再乘|A^-1|,由Schur补性质立得。
按你给的条件可得:
X'BX=X'(XX'A-AXX')X=X'XX'AX-X'AXX'X=X'AX-X'AX=O
所以B=O
命题自然成立