大连理工大学2017年数学分析试卷



一，每题6分，10题，共计60分

1，设[Latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }  \frac{a_{n} }{n}=0 ,[/Latex]


证明:[Latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } \frac{\max\{a_{1} ,a_{2},\cdots,a_{n}\} }{n}=0.[/Latex]


2，[Latex]0 \leq b \leq a,p\geq 2.[/Latex]


证明：[Latex](a+b)^p+(a-b)^p\leq 2^{p-1}(a^p+b^p).[/Latex]


3,[Latex]\int_0^1 dx\int_0^\sqrt{x} e^{-\frac{y^2}{2} }dy.[/Latex]


4，[Latex]f(x)[/Latex]是[Latex]\mathbb{R}[/Latex]上的周期函数，且[Latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=a,[/Latex]证明:[Latex]f(x)[/Latex]是常函数.


5,设[Latex]f(x)=
\begin{cases}
x^2\sin(\ln \left| x \right|),& \text{$x\neq 0$}\\
     0    ,& \text{$x=0$}
\end{cases}[/Latex]


证明：[Latex]f(x)$在$x=0[/Latex]有一阶导数，但无二阶导数.


6,设[Latex]f(x,y)[/Latex]在[Latex]\mathbb{R}^2[/Latex]上连续.令[Latex]g(x,y)=yf(x,y)[/Latex].


求[Latex]\frac{\partial{g}}{\partial{x}}(0,0) ,\frac{\partial{g}}{\partial{y}}(0,0)[/Latex]


7,令[Latex]f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2},0\leq x \leq 1.[/Latex]


证明：存在常数[Latex]\mathbb{C}[/Latex] 使得[Latex]f(x)+f(1-x)+\ln x\ln(1-x)=\mathbb{C}.[/Latex]


8,设[Latex]f(x)[/Latex]是以[Latex]2\pi [/Latex]为周期的周期函数.

[Latex]f(x)=
\begin{cases}
1,& \text{$0\leq x\leq\pi$}\\
-1    ,& \text{$-\pi< x< 0$}.
\end{cases}[/Latex]

计算[Latex]f(x)[/Latex]的[Latex]Fourier[/Latex]级数展式.


9,设[Latex]f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{x^2y}{x^4+y^2} ,& \text{$x^2+y^2>0$}\\
0    ,& \text{$x^2+y^2=0$}.
\end{cases}[/Latex]


证明：[Latex] f(x,y)[/Latex]在[Latex](0,0)[/Latex]沿任意方向的方向导数存在，但[Latex] f(x,y)[/Latex]在[Latex](0,0)[/Latex]不可微.


10,设级数[Latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} ,\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n} [/Latex]均收敛，[Latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n}[/Latex]是否收敛，

晕，难看死了，不写了