命题01(7分)试用两种方法证明:对于任意自然数n,都有[latex]19^n+2\times 17^n[/latex]不是完全平方数。 返回小木虫查看更多
[latex]N \equiv (2 \cdot 8+3)^n+2 \cdot (2 \cdot 8+1)^n \equiv 3^n+2 \equiv 5,3 \pmod{8} \not\equiv 1[/latex]
[latex]N \equiv (3 \cdot 6+1)^n+2 \cdot (3 \cdot 5+2)^n \equiv 1+2^{n+1} \equiv 0,2 \pmod{3} \Rightarrow 3 \mid N \Rightarrow 9 \mid N \Rightarrow 0 \equiv N \equiv (2 \cdot 9+1)^n+2 \cdot (2 \cdot 9-1)^n \equiv 1 \pm 2 \pmod{9}[/latex]
[latex]N \equiv (2 \cdot 8+3)^n+2 \cdot (2 \cdot 8+1)^n \equiv 3^n+2 \equiv 5,3 \pmod{8} \not\equiv 1[/latex]
[latex]N \equiv (3 \cdot 6+1)^n+2 \cdot (3 \cdot 5+2)^n \equiv 1+2^{n+1} \equiv 0,2 \pmod{3} \Rightarrow 3 \mid N \Rightarrow 9 \mid N \Rightarrow 0 \equiv N \equiv (2 \cdot 9+1)^n+2 \cdot (2 \cdot 9-1)^n \equiv 1 \pm 2 \pmod{9}[/latex]
[latex]\Rightarrow 3|N[/latex]这一步有问题,一般是不成立的
例如n=1时,[latex]N=19+2\times 17=19+34=53[/latex]不是3的倍数
,
推出的是模3余0或2,但完全平方数模3不能余2,因此余0
哦,懂了,是结合着反证法进行论证的
这题还有其它证明方法啊!