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关于完全平方数的若干命题01

作者 Edstrayer
来源: 小木虫 300 6 举报帖子
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命题01(7分)试用两种方法证明:对于任意自然数n,都有[latex]19^n+2\times 17^n[/latex]不是完全平方数。

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  • alober

    [latex]N \equiv (2 \cdot 8+3)^n+2 \cdot (2 \cdot 8+1)^n \equiv 3^n+2 \equiv 5,3 \pmod{8} \not\equiv 1[/latex]

  • alober

    [latex]N \equiv (3 \cdot 6+1)^n+2 \cdot (3 \cdot 5+2)^n \equiv 1+2^{n+1} \equiv 0,2 \pmod{3} \Rightarrow 3 \mid N \Rightarrow 9 \mid N \Rightarrow 0 \equiv N \equiv (2 \cdot 9+1)^n+2 \cdot (2 \cdot 9-1)^n \equiv 1 \pm 2 \pmod{9}[/latex]

  • Edstrayer

    引用回帖:
    4楼: Originally posted by alober at 2017-04-19 22:26:34
    N \equiv (3 \cdot 6+1)^n+2 \cdot (3 \cdot 5+2)^n \equiv 1+2^{n+1} \equiv 0,2 \pmod{3} \Rightarrow 3 \mid N \Rightarrow 9 \mid N \Rightarrow 0 \equiv N \equiv (2 \cdot 9+1)^n+2 \cdot (2 \cdot 9-1)^n \ ...

    [latex]\Rightarrow 3|N[/latex]这一步有问题,一般是不成立的
    例如n=1时,[latex]N=19+2\times 17=19+34=53[/latex]不是3的倍数

  • alober

    引用回帖:
    5楼: Originally posted by Edstrayer at 2017-04-21 04:32:08
    \Rightarrow 3|N这一步有问题,一般是不成立的
    例如n=1时,N=19+2\times 17=19+34=53不是3的倍数...

    推出的是模3余0或2,但完全平方数模3不能余2,因此余0

  • Edstrayer

    引用回帖:
    6楼: Originally posted by alober at 2017-04-21 08:09:41
    推出的是模3余0或2,但完全平方数模3不能余2,因此余0...

    哦,懂了,是结合着反证法进行论证的
    这题还有其它证明方法啊!

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