一个函数的定积分求解
该定积分的表达式为:[latex]\int_{ \gamma_m_i_n }^{ \gamma } {(\gamma^2-1)^{-1/4}dx}[/latex]
其中[latex]1\leq\gamma_m_i_n<\gamma[/latex]。
在下图1中和图2中,已给出相关的结果。图2为书上的结果,图1为别人计算的一个结果,我都不知道这椭圆积分它们到底是怎么来的,在标准积分表上我也没看到,并且图1里面的符号好像也没有交待清楚。所以特向各位大哥们请教!如果能在标准积分表上查到的话,麻烦给出相关的积分表,小弟在此先谢谢了!
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[latex]f(t)=\int_{0}^{\sqrt{t}}(x^2-1)^{-\frac{1}{4}}dx[/latex]
[latex]f(t) \mathop{=}^{x^2=y} \frac{(-1)^{-\frac{1}{4}}}{2}\int_{0}^{t}y^{-\frac{1}{2}}(1-y)^{-\frac{1}{4}}dy \mathop{=}^{y=tx} \frac{(-1)^{-\frac{1}{4}}}{2} \cdot t^{-\frac{1}{2}} \cdot t\int_{0}^{1}x^{-\frac{1}{2}}(1-tx)^{-\frac{1}{4}}dx = \frac{(-1)^{-\frac{1}{4}}}{2} \cdot t^{\frac{1}{2}} \cdot B(\frac{1}{2},1) \cdot \,_2F_1(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{2},t) = (-1)^{-\frac{1}{4}}t^{\frac{1}{2}} \cdot \,_2F_1(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{2},t)[/latex]
[latex]I=f(\gamma^2)-f(\gamma_{\min}^2) = (-1)^{-\frac{1}{4}}(\gamma \cdot \,_2F_1(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{2},\gamma^2)-\gamma_{\min} \cdot \,_2F_1(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{2},\gamma_{\min}^2))[/latex]
非常感谢您的热心帮助!能不能给出f(t)倒数第二步的标准积分表啊?还有就是F1是个啥函数。然后这个破积分我找到原始出处了。.
参考文献:H. R. JORY and A. W. TRIVELPIECE. Exact relativistic solution for the one-dimensional diode, JOURNAL OF APPLIED PHYSICS VOLU;ME 40, NUMBER 10 SEPTEMBER 1969.
令w^4=r^2-1即可化为文献中完全相同的形式了。
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谢谢回复!
[latex]\,_2F_1(a,b,c,z)[/latex]是 Gauss 超几何函数,Euler 形式如:
[latex]B(b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b,c,z)=\int_{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}dx[/latex]
其中B(x,y)是 beta 函数。好像还要求c>b>0,只要求实部满足就行。
对这个函数我也不太熟悉,也很少用,但很多函数都是它的特殊形式。