求证一道（积分）不等式
如图，谢谢各位！
不等式.png
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京公网安备 11010802022153号
[latex]\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2-n^2\int_0^1\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\right)^2dx[/latex]
[latex]=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j-n^2\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{a_k^2}{2k+1}+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}\frac{a_ia_j}{i+j+1}\right)[/latex]
[latex]=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{n^2}{2k+1}\right)a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}\left(1-\frac{n^2}{i+j+1}\right)a_ia_j[/latex]
[latex]\leqslant\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{n^2}{2n-1}\right)a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}\left(1-\frac{n^2}{2(n-1)}\right)a_ia_j[/latex]
[latex]=\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2-2\frac{n^2-2n+2}{2(n-1)}\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j[/latex]
[latex]\leqslant\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2-2\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j[/latex]
[latex]=\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2[/latex]
[latex]\leqslant 0[/latex]
所以就有不等式：
[latex]\frac{\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2}{\int_0^1\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\right)^2dx}\leqslant n^2[/latex]
至于不等式的等号何时成立，有待进一步的考虑，
题目没有说ak为正数，你那里的放缩应该行不通
Max是对一切a_k求？
对，只需满足对所有不全为0的实数a_k
令分式的分母为1，转化为约束极值问题，用拉格朗日乘数法可解出。
令分式分子为1，可能会更好些，这样的话，由拉格朗日乘数法行到的方程继是线性的。
我对拉格朗日数乘法的了解不多，就我所知此法的一个困难是解方程。用在这题的话要解的方程是不是会很麻烦？可否详细写一下？谢谢了！